Cálculo Ejemplos

$2 x (y + 1) + (x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x y + 2 x \cdot 1 + (x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1.1.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 x y + 2 x + (x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x y + 2 x + x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1.1.1.4

Multiplica $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$2 x y + 2 x + x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.2.1

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x + x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

Paso 1.1.2.2

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 2 x$

Paso 1.1.3

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

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Paso 1.1.3.1

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 2 x$

Paso 1.1.3.2

Eleva $\frac{d y}{d x}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 2 x$

Paso 1.1.3.3

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 2 x y - 2 x$

Paso 1.1.3.4

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 2 x y - 2 x$

Paso 1.1.4

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 2 x y - 2 x$ por $x^{2} + 1$ y simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 2 x y - 2 x$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 1} + \frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

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Paso 1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 1} + \frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 1} + \frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y - 2 x}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.4.3.2.1

Factoriza $2 x$ de $- 2 x y - 2 x$ .

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Paso 1.1.4.3.2.1.1

Factoriza $2 x$ de $- 2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 y) - 2 x}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.3.2.1.2

Factoriza $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 y) + 2 x (- 1)}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.3.2.1.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (- 1 y) + 2 x (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 y - 1)}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.3.2.2

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- y - 1)}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.3.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1.4.3.3.1

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- (y) - 1)}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.3.3.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- (y) - 1 (1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- (y + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.3.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.4.3.3.4.1

Reescribe $- (y + 1)$ como $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (y + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.3.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(2 x) (y + 1)}{x^{2} + 1}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1)$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (- \frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1))$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y + 1} (\frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1))$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 1.4.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y + 1}$ al numerador.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} (\frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1))$

Paso 1.4.2.2

Factoriza $y + 1$ de $\frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} ((y + 1) \frac{2 x}{x^{2} + 1})$

Paso 1.4.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} ((y + 1) \frac{2 x}{x^{2} + 1})$

Paso 1.4.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y + 1} d y = - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = y + 1$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = y + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.3.4

Sea $u_{2} = x^{2} + 1$ . Entonces $d u_{2} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.4.1

Deja $u_{2} = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.4.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.3.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.4.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 2.3.4.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 2.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 2.3.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.8

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 2.3.9

Simplifica.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 2.3.10

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y + 1 |) + \ln (| x^{2} + 1 |) = C$

Paso 3.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 1 | | x^{2} + 1 |) = C$

Paso 3.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| (y + 1) (x^{2} + 1) |) = C$

Paso 3.4

Expande $(y + 1) (x^{2} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) |) = C$

Paso 3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) |) = C$

Paso 3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 |) = C$

Paso 3.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1

Multiplica $y$ por $1$ .

$\ln (| y x^{2} + y + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 |) = C$

Paso 3.5.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\ln (| y x^{2} + y + x^{2} + 1 \cdot 1 |) = C$

Paso 3.5.3

Multiplica $1$ por $1$ .

$\ln (| y x^{2} + y + x^{2} + 1 |) = C$

Paso 3.6

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y x^{2} + y + x^{2} + 1 |)} = e^{C}$

Paso 3.7

Reescribe $\ln (| y x^{2} + y + x^{2} + 1 |) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x^{2} + y + x^{2} + 1 |$

Paso 3.8

Resuelve $y$

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Paso 3.8.1

Reescribe la ecuación como $| y x^{2} + y + x^{2} + 1 | = e^{C}$ .

$| y x^{2} + y + x^{2} + 1 | = e^{C}$

Paso 3.8.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y x^{2} + y + x^{2} + 1 = \pm e^{C}$

Paso 3.8.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.8.3.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y x^{2} + y + 1 = \pm e^{C} - x^{2}$

Paso 3.8.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y x^{2} + y = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Paso 3.8.4

Factoriza $y$ de $y x^{2} + y$ .

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Paso 3.8.4.1

Factoriza $y$ de $y x^{2}$ .

$y (x^{2}) + y = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Paso 3.8.4.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y (x^{2}) + y = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Paso 3.8.4.3

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y (x^{2}) + y \cdot 1 = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Paso 3.8.4.4

Factoriza $y$ de $y (x^{2}) + y \cdot 1$ .

$y (x^{2} + 1) = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Paso 3.8.5

Divide cada término en $y (x^{2} + 1) = \pm e^{C} - x^{2} - 1$ por $x^{2} + 1$ y simplifica.

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Paso 3.8.5.1

Divide cada término en $y (x^{2} + 1) = \pm e^{C} - x^{2} - 1$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Paso 3.8.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.8.5.2.1

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

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Paso 3.8.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Paso 3.8.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Paso 3.8.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.8.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.5.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Paso 3.8.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Paso 3.8.5.3.2

Combina en una fracción.

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Paso 3.8.5.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{C} - x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Paso 3.8.5.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{C} - x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{C - x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$