Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x + 1} y = x - 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x + 1} y = x - 1$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Paso 1.4

Combina $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ y $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{(2 x + 1) y}{x + 1}}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Paso 1.5

Factoriza $y$ de $\frac{\frac{(2 x + 1) y}{x + 1}}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Paso 1.6

Reordena $y$ y $\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y = 1 + \frac{- 1}{x}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{\int \frac{2 x + 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ por $\frac{1}{x}$ .

$e^{\int \frac{2 x + 1}{(x + 1) x} d x}$

Paso 2.2.2

Sea $u = (x + 1) x$ . Entonces $d u = (2 x + 1) d x$ , de modo que $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.2.1

Deja $u = (x + 1) x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $(x + 1) x$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) x]$

Paso 2.2.2.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.2.2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.2.2.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x + 1) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.2.2.1.3.2

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$x + 1 + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.2.2.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.2.2.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x + 1 + x (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.2.2.1.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x + 1 + x (1 + 0)$

Paso 2.2.2.1.3.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.2.1.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$x + 1 + x \cdot 1$

Paso 2.2.2.1.3.6.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x + 1 + x$

Paso 2.2.2.1.3.6.3

Suma $x$ y $x$ .

$2 x + 1$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Paso 2.2.3

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Paso 2.2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(x + 1) x$ .

$e^{\ln (| (x + 1) x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln ((x + 1) x)}$

Paso 2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$(x + 1) x$

Paso 2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + 1 x$

Paso 2.6

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + 1 x$

Paso 2.7

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{2} + x$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{2} + x$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $x^{2} + x$ .

$(x^{2} + x) \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Paso 3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{2 x + 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Paso 3.2.3

Multiplica $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ por $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{2 x + 1}{(x + 1) x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Paso 3.2.4

Combina $\frac{2 x + 1}{(x + 1) x}$ y $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) \frac{(2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Paso 3.2.5

Multiplica $x^{2} + x$ por $\frac{(2 x + 1) y}{(x + 1) x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + x) ((2 x + 1) y)}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Paso 3.2.6

Factoriza $x$ de $x^{2} + x$ .

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Paso 3.2.6.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Paso 3.2.6.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x^{1}) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Paso 3.2.6.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Paso 3.2.6.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{x (x + 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Paso 3.2.7

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.7.1

Cancela el factor común.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{x (x + 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Paso 3.2.7.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{((x + 1) (2 x + 1)) y}{x + 1} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Paso 3.2.8

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 3.2.8.1

Cancela el factor común.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) (2 x + 1) y}{x + 1} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Paso 3.2.8.2

Divide $(2 x + 1) y$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (2 x + 1) y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Paso 3.2.9

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + 1 y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Paso 3.2.10

Multiplica $y$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Multiplica $x^{2} + x$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Paso 3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + (x^{2} + x) (- \frac{1}{x})$

Paso 3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x^{2} (- \frac{1}{x}) + x (- \frac{1}{x})$

Paso 3.3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x^{2} \frac{1}{x} + x (- \frac{1}{x})$

Paso 3.3.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x^{2} \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

Paso 3.3.6

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.6.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.6.1.1

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x (- x) \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

Paso 3.3.6.1.2

Cancela el factor común.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x (- x) \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

Paso 3.3.6.1.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x - x \frac{1}{x}$

Paso 3.3.6.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.6.2.1

Factoriza $x$ de $- x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x + x \cdot - 1 \frac{1}{x}$

Paso 3.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x + x \cdot - 1 \frac{1}{x}$

Paso 3.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x - 1$

Paso 3.4

Combina los términos opuestos en $x^{2} + x - x - 1$ .

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Paso 3.4.1

Resta $x$ de $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + 0 - 1$

Paso 3.4.2

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} - 1$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x) y] = x^{2} - 1$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} + x) y] d x = \int x^{2} - 1 d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$(x^{2} + x) y = \int x^{2} - 1 d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$(x^{2} + x) y = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Paso 7.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x$

Paso 7.3

Aplica la regla de la constante.

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} + C - x + C$

Paso 7.4

Simplifica.

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

Paso 8

Divide cada término en $(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ por $x^{2} + x$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ por $x^{2} + x$ .

$\frac{(x^{2} + x) y}{x^{2} + x} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x^{2} + x$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} + x) y}{x^{2} + x} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Paso 8.3.1.2

Factoriza $x$ de $x^{2} + x$ .

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Paso 8.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Paso 8.3.1.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x^{1}} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Paso 8.3.1.2.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x \cdot 1} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Paso 8.3.1.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Paso 8.3.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Paso 8.3.1.4

Combinar.

$y = \frac{x^{3} \cdot 1}{3 (x (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Paso 8.3.1.5

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 8.3.1.5.1

Factoriza $x$ de $x^{3} \cdot 1$ .

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{3 (x (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Paso 8.3.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.5.2.1

Factoriza $x$ de $3 (x (x + 1))$ .

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{x (3 (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Paso 8.3.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{x (3 (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Paso 8.3.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Paso 8.3.1.6

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Paso 8.3.1.7

Factoriza $x$ de $x^{2} + x$ .

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Paso 8.3.1.7.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Paso 8.3.1.7.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x^{1}} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Paso 8.3.1.7.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x \cdot 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Paso 8.3.1.7.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x (x + 1)} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Paso 8.3.1.8

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.3.1.8.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x (x + 1)} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Paso 8.3.1.8.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- 1}{x + 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Paso 8.3.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Paso 8.3.1.10

Factoriza $x$ de $x^{2} + x$ .

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Paso 8.3.1.10.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x}$

Paso 8.3.1.10.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x^{1}}$

Paso 8.3.1.10.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Paso 8.3.1.10.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Paso 8.3.2

Para escribir $- \frac{1}{x + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Paso 8.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $3 (x + 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{3}{(x + 1) \cdot 3} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Paso 8.3.3.2

Reordena los factores de $(x + 1) \cdot 3$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Paso 8.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Paso 8.3.5

Para escribir $\frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Paso 8.3.6

Para escribir $\frac{C}{x (x + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x (x + 1)} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 8.3.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $3 (x + 1) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.7.1

Multiplica $\frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 (x + 1) x} + \frac{C}{x (x + 1)} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 8.3.7.2

Multiplica $\frac{C}{x (x + 1)}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 (x + 1) x} + \frac{C \cdot 3}{x (x + 1) \cdot 3}$

Paso 8.3.7.3

Reordena los factores de $3 (x + 1) x$ .

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 x (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{x (x + 1) \cdot 3}$

Paso 8.3.7.4

Reordena los factores de $x (x + 1) \cdot 3$ .

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 x (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Paso 8.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{(x^{2} - 3) x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Paso 8.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{x^{2} x - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Paso 8.3.9.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 8.3.9.2.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 8.3.9.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{1} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Paso 8.3.9.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{x^{2 + 1} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Paso 8.3.9.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Paso 8.3.9.3

Mueve $3$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 x + 3 C}{3 x (x + 1)}$