Cálculo Ejemplos

$(2 x y + 2 y) d x - y d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x y + 2 y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + 2 y]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x y + 2 y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Paso 1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 \cdot 1$

Paso 1.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 x + 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $0$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x + 2 = 0$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 x + 2 = 0$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $2 x + 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (2 x + 2)}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $2 x y + 2 y$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $2 x y + 2 y$ por $M$ .

$\frac{0 - (2 x + 2)}{2 x y + 2 y}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{0 - (2 x) - 1 \cdot 2}{2 x y + 2 y}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{0 - 2 x - 1 \cdot 2}{2 x y + 2 y}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0 - 2 x - 2}{2 x y + 2 y}$

Paso 4.3.2.4

Resta $- (- 2 x - 2)$ de $0$ .

$\frac{- 2 x - 2}{2 x y + 2 y}$

Paso 4.3.2.5

Factoriza $2$ de $- 2 x - 2$ .

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Paso 4.3.2.5.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) - 2}{2 x y + 2 y}$

Paso 4.3.2.5.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (- 1)}{2 x y + 2 y}$

Paso 4.3.2.5.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 x y + 2 y}$

Paso 4.3.3

Factoriza $2 y$ de $2 x y + 2 y$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $2 y$ de $2 x y$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x) + 2 y}$

Paso 4.3.3.2

Factoriza $2 y$ de $2 y$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x) + 2 y (1)}$

Paso 4.3.3.3

Factoriza $2 y$ de $2 y (x) + 2 y (1)$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x + 1)}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x + 1)}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- x - 1}{y (x + 1)}$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $- x - 1$ y $x + 1$ .

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Paso 4.3.5.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 1}{y (x + 1)}$

Paso 4.3.5.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (1)}{y (x + 1)}$

Paso 4.3.5.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1)}{y (x + 1)}$

Paso 4.3.5.4

Reescribe $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1)}{y (x + 1)}$

Paso 4.3.5.5

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (x + 1)}{y (x + 1)}$

Paso 4.3.5.6

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{y}$

Paso 4.3.6

Sustituye $2 x y + 2 y$ por $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Paso 5.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1

Simplifica $- \ln (| y |)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Paso 5.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(2 x y + 2 y) d x - y d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $2 x y + 2 y$ por $\frac{1}{y}$ .

$(2 x y + 2 y) \frac{1}{y} d x - y d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $2 x y + 2 y$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{2 x y + 2 y}{y} d x - y d y = 0$

Paso 6.3

Factoriza $2 y$ de $2 x y + 2 y$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $2 y$ de $2 x y$ .

$\frac{2 y (x) + 2 y}{y} d x - y d y = 0$

Paso 6.3.2

Factoriza $2 y$ de $2 y$ .

$\frac{2 y (x) + 2 y (1)}{y} d x - y d y = 0$

Paso 6.3.3

Factoriza $2 y$ de $2 y (x) + 2 y (1)$ .

$\frac{2 y (x + 1)}{y} d x - y d y = 0$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y (x + 1)}{y} d x - y d y = 0$

Paso 6.4.2

Divide $2 (x + 1)$ por $1$ .

$2 (x + 1) d x - y d y = 0$

Paso 6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x + 2 \cdot 1) d x - y d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$(2 x + 2) d x - y d y = 0$

Paso 6.7

Multiplica $- y$ por $\frac{1}{y}$ .

$(2 x + 2) d x - y \frac{1}{y} d y = 0$

Paso 6.8

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.8.1

Factoriza $y$ de $- y$ .

$(2 x + 2) d x + y \cdot - 1 \frac{1}{y} d y = 0$

Paso 6.8.2

Cancela el factor común.

$(2 x + 2) d x + y \cdot - 1 \frac{1}{y} d y = 0$

Paso 6.8.3

Reescribe la expresión.

$(2 x + 2) d x - 1 d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 1 d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = - 1$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = - y + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - y + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + 2$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- y + g (x)] = 2 x + 2$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + 2$

Paso 11.3

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + 2$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = 2 x + 2$

Paso 11.5

Suma $0$ y $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 2$

Paso 12

Obtén la antiderivada de $2 x + 2$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 12.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 2 x + 2$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x + 2 d x$

Paso 12.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x + 2 d x$

Paso 12.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (x) = \int 2 x d x + \int 2 d x$

Paso 12.4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$g (x) = 2 \int x d x + \int 2 d x$

Paso 12.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 d x$

Paso 12.6

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C$

Paso 12.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C$

Paso 12.8

Simplifica.

$g (x) = x^{2} + 2 x + C$

Paso 13

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = - y + g (x)$ .

$f (x, y) = - y + x^{2} + 2 x + C$