Cálculo Ejemplos

$2 x \frac{d y}{d x} - y = 3$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x \frac{d y}{d x} = 3 + y$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $2 x \frac{d y}{d x} = 3 + y$ por $2 x$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $2 x \frac{d y}{d x} = 3 + y$ por $2 x$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{3}{2 x} + \frac{y}{2 x}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{3}{2 x} + \frac{y}{2 x}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{3}{2 x} + \frac{y}{2 x}$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{3}{2 x} + \frac{y}{2 x}$

Paso 1.1.2.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2 x} + \frac{y}{2 x}$

Paso 1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 + y}{2 x}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{3 + y}$ .

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y} \cdot \frac{3 + y}{2 x}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $3 + y$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y} \cdot \frac{3 + y}{2 x}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{3 + y} d y = \frac{1}{2 x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{3 + y} d y = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 3 + y$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 3 + y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $3 + y$ .

$\frac{d}{d y} [3 + y]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 + y$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| 3 + y |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 3 + y |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 3 + y |) - \frac{\ln (| x |)}{2} = C$

Paso 3.3

Para escribir $\ln (| 3 + y |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x |)}{2} = C$

Paso 3.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.1

Combina $\ln (| 3 + y |)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| 3 + y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x |)}{2} = C$

Paso 3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (| 3 + y |) \cdot 2 - \ln (| x |)}{2} = C$

Paso 3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (| 3 + y |)$ .

$\frac{2 \ln (| 3 + y |) - \ln (| x |)}{2} = C$

Paso 3.6

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.1

Simplifica $\frac{2 \ln (| 3 + y |) - \ln (| x |)}{2}$ .

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Paso 3.6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| 3 + y |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{\ln ({| 3 + y |}^{2}) - \ln (| x |)}{2} = C$

Paso 3.6.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| 3 + y |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\frac{\ln ({(3 + y)}^{2}) - \ln (| x |)}{2} = C$

Paso 3.6.1.1.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{(3 + y)}^{2}}{| x |})}{2} = C$

Paso 3.6.1.2

Reescribe $\frac{\ln (\frac{{(3 + y)}^{2}}{| x |})}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(3 + y)}^{2}}{| x |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(3 + y)}^{2}}{| x |}) = C$

Paso 3.6.1.3

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(3 + y)}^{2}}{| x |})$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$\ln ({(\frac{{(3 + y)}^{2}}{| x |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.6.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{{(3 + y)}^{2}}{| x |}$ .

$\ln (\frac{{({(3 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 3.6.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.5.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.6.1.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(3 + y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 3.6.1.5.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.1.5.1.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{{(3 + y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 3.6.1.5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{{(3 + y)}^{1}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 3.6.1.5.2

Simplifica.

$\ln (\frac{3 + y}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 3.7

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{3 + y}{{| x |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Paso 3.8

Reescribe $\ln (\frac{3 + y}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{3 + y}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.9

Resuelve $y$

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Paso 3.9.1

Reescribe la ecuación como $\frac{3 + y}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{3 + y}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Paso 3.9.2

Multiplica ambos lados por ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 + y}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} {| x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.9.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.9.3.1

Simplifica $\frac{3 + y}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} {| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.9.3.1.1

Cancela el factor común de ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.9.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 + y}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} {| x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.9.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$3 + y = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.9.3.1.2

Reordena $3$ y $y$ .

$y + 3 = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.9.4

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{2}} - 3$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = C {| x |}^{\frac{1}{2}} - 3$