Cálculo Ejemplos

$(t^{2} + x^{2}) d t + (2 t x - x) d x = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = t^{2} + x^{2}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [t^{2} + x^{2}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + x^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [t^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [t^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Paso 1.3

Como $t^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $t^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Paso 1.4

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0$

Paso 1.5

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 2 t x - x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 t x - x]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t x - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 t x] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 t x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 t x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2 t$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 t x$ con respecto a $x$ es $2 t \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 t \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 t \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 t + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 t - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 t - 1 \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 t - 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 t - 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = 2 t - 1$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$0 = 2 t - 1$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $2 t - 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - (2 t - 1)}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $2 t x - x$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $2 t x - x$ por $N$ .

$\frac{0 - (2 t - 1)}{2 t x - x}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{0 - (2 t) - - 1}{2 t x - x}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{0 - 2 t - - 1}{2 t x - x}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{0 - 2 t + 1}{2 t x - x}$

Paso 4.3.2.4

Resta $- (- 2 t + 1)$ de $0$ .

$\frac{- 2 t + 1}{2 t x - x}$

Paso 4.3.3

Factoriza $x$ de $2 t x - x$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $x$ de $2 t x$ .

$\frac{- 2 t + 1}{x (2 t) - x}$

Paso 4.3.3.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\frac{- 2 t + 1}{x (2 t) + x \cdot - 1}$

Paso 4.3.3.3

Factoriza $x$ de $x (2 t) + x \cdot - 1$ .

$\frac{- 2 t + 1}{x (2 t - 1)}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $- 2 t + 1$ y $2 t - 1$ .

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Paso 4.3.4.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 t$ .

$\frac{- (2 t) + 1}{x (2 t - 1)}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 t) - 1 (- 1)}{x (2 t - 1)}$

Paso 4.3.4.3

Factoriza $- 1$ de $- (2 t) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 t - 1)}{x (2 t - 1)}$

Paso 4.3.4.4

Reescribe $- (2 t - 1)$ como $- 1 (2 t - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 t - 1)}{x (2 t - 1)}$

Paso 4.3.4.5

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (2 t - 1)}{x (2 t - 1)}$

Paso 4.3.4.6

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{x}$

Paso 4.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 5.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Paso 5.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1

Simplifica $- \ln (| x |)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Paso 5.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(t^{2} + x^{2}) d t + (2 t x - x) d x = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{x}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $t^{2} + x^{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$(t^{2} + x^{2}) \frac{1}{x} d t + (2 t x - x) d x = 0$

Paso 6.2

Multiplica $t^{2} + x^{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{t^{2} + x^{2}}{x} d t + (2 t x - x) d x = 0$

Paso 6.3

Multiplica $2 t x - x$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{t^{2} + x^{2}}{x} d t + (2 t x - x) \frac{1}{x} d x = 0$

Paso 6.4

Multiplica $2 t x - x$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{t^{2} + x^{2}}{x} d t + \frac{2 t x - x}{x} d x = 0$

Paso 6.5

Factoriza $x$ de $2 t x - x$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza $x$ de $2 t x$ .

$\frac{t^{2} + x^{2}}{x} d t + \frac{x (2 t) - x}{x} d x = 0$

Paso 6.5.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\frac{t^{2} + x^{2}}{x} d t + \frac{x (2 t) + x \cdot - 1}{x} d x = 0$

Paso 6.5.3

Factoriza $x$ de $x (2 t) + x \cdot - 1$ .

$\frac{t^{2} + x^{2}}{x} d t + \frac{x (2 t - 1)}{x} d x = 0$

Paso 6.6

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{t^{2} + x^{2}}{x} d t + \frac{x (2 t - 1)}{x} d x = 0$

Paso 6.6.2

Divide $2 t - 1$ por $1$ .

$\frac{t^{2} + x^{2}}{x} d t + (2 t - 1) d x = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 t - 1 d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = 2 t - 1$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 2 t d y + \int - 1 d y$

Paso 8.2

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 2 t y + C + \int - 1 d y$

Paso 8.3

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 2 t y + C - y + C$

Paso 8.4

Simplifica.

$f (x, y) = 2 t y - y + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 t y - y + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{t^{2} + x^{2}}{x}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 t y - y + g (x)] = \frac{t^{2} + x^{2}}{x}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t y - y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 t y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 t y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{t^{2} + x^{2}}{x}$

Paso 11.3

Como $2 t y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 t y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{t^{2} + x^{2}}{x}$

Paso 11.4

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{t^{2} + x^{2}}{x}$

Paso 11.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{t^{2} + x^{2}}{x}$

Paso 11.6

Combina los términos.

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Paso 11.6.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{t^{2} + x^{2}}{x}$

Paso 11.6.2

Suma $0$ y $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{t^{2} + x^{2}}{x}$

Paso 12

Obtén la antiderivada de $\frac{t^{2} + x^{2}}{x}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 12.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{t^{2} + x^{2}}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{t^{2} + x^{2}}{x} d x$

Paso 12.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{t^{2} + x^{2}}{x} d x$

Paso 12.3

Divide la fracción en varias fracciones.

$g (x) = \int \frac{t^{2}}{x} + \frac{x^{2}}{x} d x$

Paso 12.4

Divide la única integral en varias integrales.

$g (x) = \int \frac{t^{2}}{x} d x + \int \frac{x^{2}}{x} d x$

Paso 12.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 12.5.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$g (x) = \int \frac{t^{2}}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x} d x$

Paso 12.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$g (x) = \int \frac{t^{2}}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x$

Paso 12.5.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$g (x) = \int \frac{t^{2}}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

Paso 12.5.2.3

Cancela el factor común.

$g (x) = \int \frac{t^{2}}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

Paso 12.5.2.4

Reescribe la expresión.

$g (x) = \int \frac{t^{2}}{x} d x + \int \frac{x}{1} d x$

Paso 12.5.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$g (x) = \int \frac{t^{2}}{x} d x + \int x d x$

Paso 12.6

Dado que $t^{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $t^{2}$ fuera de la integral.

$g (x) = t^{2} \int \frac{1}{x} d x + \int x d x$

Paso 12.7

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$g (x) = t^{2} (\ln (| x |) + C) + \int x d x$

Paso 12.8

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = t^{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12.9

Simplifica.

$g (x) = t^{2} \ln (| x |) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 13

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = 2 t y - y + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 t y - y + t^{2} \ln (| x |) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 14

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 t y - y + t^{2} \ln (| x |) + \frac{x^{2}}{2} + C$