Cálculo Ejemplos

$(4 + x^{2}) d y + 4 d x = 0$

Paso 1

Resta $4 d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(4 + x^{2}) d y = - 4 d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{4 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{4 + x^{2}} (4 + x^{2}) d y = \frac{1}{4 + x^{2}} \cdot - 4 d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $4 + x^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 + x^{2}} (4 + x^{2}) d y = \frac{1}{4 + x^{2}} \cdot - 4 d x$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$1 d y = \frac{1}{4 + x^{2}} \cdot - 4 d x$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{4 + x^{2}}$ y $- 4$ .

$1 d y = \frac{- 4}{4 + x^{2}} d x$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 d y = - \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int - \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Paso 4.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Paso 4.3.2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (4 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x)$

Paso 4.3.3

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 4.3.3.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Paso 4.3.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Paso 4.3.4

La integral de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2})$

Paso 4.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$y + C_{1} = - 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$

Paso 4.3.5.2

Reescribe $- 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$ como $- 4 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Paso 4.3.5.3

Simplifica.

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Paso 4.3.5.3.1

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Paso 4.3.5.3.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 4.3.5.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Paso 4.3.5.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.5.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Paso 4.3.5.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Paso 4.3.5.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Paso 4.3.5.3.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Paso 4.3.5.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$y + C_{1} = - 2 \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Paso 4.3.5.4

Reordena los términos.

$y + C_{1} = - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + K$