Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d y} + (\frac{4}{y + 1}) x = \frac{y}{y + 1}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (y) d y}$ , donde $P (y) = \frac{4}{y + 1}$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{4}{y + 1} d y}$

Paso 1.2

Integra $\frac{4}{y + 1}$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$e^{4 \int \frac{1}{y + 1} d y}$

Paso 1.2.2

Sea $u = y + 1$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.2.2.1

Deja $u = y + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Diferencia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 1.2.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.2.2.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.2.2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{4 \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 1.2.3

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$e^{4 (\ln (| u |) + C)}$

Paso 1.2.4

Simplifica.

$e^{4 \ln (| u |) + C}$

Paso 1.2.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y + 1$ .

$e^{4 \ln (| y + 1 |) + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{4 \ln (y + 1)}$

Paso 1.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln ({(y + 1)}^{4})}$

Paso 1.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

${(y + 1)}^{4}$

Paso 1.6

Usa el teorema del binomio.

$y^{4} + 4 y^{3} \cdot 1 + 6 y^{2} \cdot 1^{2} + 4 y \cdot 1^{3} + 1^{4}$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} \cdot 1^{2} + 4 y \cdot 1^{3} + 1^{4}$

Paso 1.7.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} \cdot 1 + 4 y \cdot 1^{3} + 1^{4}$

Paso 1.7.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y \cdot 1^{3} + 1^{4}$

Paso 1.7.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y \cdot 1 + 1^{4}$

Paso 1.7.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1^{4}$

Paso 1.7.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ .

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{d x}{d y} + (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) ((\frac{4}{y + 1}) x) = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + 1 \frac{d x}{d y} + (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) ((\frac{4}{y + 1}) x) = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{d x}{d y}$ por $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) ((\frac{4}{y + 1}) x) = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Paso 2.2.3

Combina $\frac{4}{y + 1}$ y $x$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{4 x}{y + 1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Paso 2.2.4

Multiplica $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ por $\frac{4 x}{y + 1}$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + \frac{(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) (4 x)}{y + 1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Paso 2.2.5

Factoriza $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ mediante el teorema del binomio.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + \frac{{(y + 1)}^{4} \cdot 4 x}{y + 1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Paso 2.2.6

Cancela el factor común de ${(y + 1)}^{4}$ y $y + 1$ .

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Paso 2.2.6.1

Factoriza $y + 1$ de ${(y + 1)}^{4} \cdot 4 x$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + \frac{(y + 1) ({(y + 1)}^{3} \cdot 4 x)}{y + 1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Paso 2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.6.2.1

Multiplica por $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + \frac{(y + 1) ({(y + 1)}^{3} \cdot 4 x)}{(y + 1) \cdot 1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Paso 2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

Paso 2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + \frac{{(y + 1)}^{3} \cdot 4 x}{1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Paso 2.2.6.2.4

Divide ${(y + 1)}^{3} \cdot 4 x$ por $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + {(y + 1)}^{3} \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Paso 2.2.7

Usa el teorema del binomio.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} + 3 y^{2} \cdot 1 + 3 y \cdot 1^{2} + 1^{3}) \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Paso 2.2.8

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.8.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y \cdot 1^{2} + 1^{3}) \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Paso 2.2.8.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y \cdot 1 + 1^{3}) \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Paso 2.2.8.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1^{3}) \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Paso 2.2.8.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1) \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Paso 2.2.9

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} \cdot 4 + 3 y^{2} \cdot 4 + 3 y \cdot 4 + 1 \cdot 4) x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Paso 2.2.10

Simplifica.

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Paso 2.2.10.1

Mueve $4$ a la izquierda de $y^{3}$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (4 \cdot y^{3} + 3 y^{2} \cdot 4 + 3 y \cdot 4 + 1 \cdot 4) x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Paso 2.2.10.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (4 \cdot y^{3} + 12 y^{2} + 3 y \cdot 4 + 1 \cdot 4) x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Paso 2.2.10.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (4 \cdot y^{3} + 12 y^{2} + 12 y + 1 \cdot 4) x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Paso 2.2.10.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (4 \cdot y^{3} + 12 y^{2} + 12 y + 4) x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Paso 2.2.11

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Paso 2.3

Multiplica $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ por $\frac{y}{y + 1}$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = \frac{(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) y}{y + 1}$

Paso 2.4

Factoriza $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ mediante el teorema del binomio.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = \frac{{(y + 1)}^{4} y}{y + 1}$

Paso 2.5

Cancela el factor común de ${(y + 1)}^{4}$ y $y + 1$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $y + 1$ de ${(y + 1)}^{4} y$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = \frac{(y + 1) ({(y + 1)}^{3} y)}{y + 1}$

Paso 2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.2.1

Multiplica por $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = \frac{(y + 1) ({(y + 1)}^{3} y)}{(y + 1) \cdot 1}$

Paso 2.5.2.2

Cancela el factor común.

Paso 2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = \frac{{(y + 1)}^{3} y}{1}$

Paso 2.5.2.4

Divide ${(y + 1)}^{3} y$ por $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = {(y + 1)}^{3} y$

Paso 2.6

Usa el teorema del binomio.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{3} + 3 y^{2} \cdot 1 + 3 y \cdot 1^{2} + 1^{3}) y$

Paso 2.7

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y \cdot 1^{2} + 1^{3}) y$

Paso 2.7.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y \cdot 1 + 1^{3}) y$

Paso 2.7.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1^{3}) y$

Paso 2.7.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1) y$

Paso 2.8

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{3} y + 3 y^{2} y + 3 y \cdot y + 1 y$

Paso 2.9

Simplifica.

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Paso 2.9.1

Multiplica $y^{3}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.9.1.1

Multiplica $y^{3}$ por $y$ .

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Paso 2.9.1.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{3} y^{1} + 3 y^{2} y + 3 y \cdot y + 1 y$

Paso 2.9.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{3 + 1} + 3 y^{2} y + 3 y \cdot y + 1 y$

Paso 2.9.1.2

Suma $3$ y $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{2} y + 3 y \cdot y + 1 y$

Paso 2.9.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.9.2.1

Mueve $y$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 (y \cdot y^{2}) + 3 y \cdot y + 1 y$

Paso 2.9.2.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 2.9.2.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 (y^{1} y^{2}) + 3 y \cdot y + 1 y$

Paso 2.9.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{1 + 2} + 3 y \cdot y + 1 y$

Paso 2.9.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y \cdot y + 1 y$

Paso 2.9.3

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.9.3.1

Mueve $y$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{3} + 3 (y \cdot y) + 1 y$

Paso 2.9.3.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + 1 y$

Paso 2.9.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d y} [(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x] = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d y} [(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x] d y = \int y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y d y$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \int y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y d y$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Divide la única integral en varias integrales.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \int y^{4} d y + \int 3 y^{3} d y + \int 3 y^{2} d y + \int y d y$

Paso 6.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{4}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + \int 3 y^{3} d y + \int 3 y^{2} d y + \int y d y$

Paso 6.3

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 \int y^{3} d y + \int 3 y^{2} d y + \int y d y$

Paso 6.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \int 3 y^{2} d y + \int y d y$

Paso 6.5

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 3 \int y^{2} d y + \int y d y$

Paso 6.6

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int y d y$

Paso 6.7

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 6.8

Simplifica.

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Paso 6.8.1

Simplifica.

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Paso 6.8.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $y^{4}$ .

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{y^{4}}{4} + C) + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 6.8.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{y^{4}}{4} + C) + 3 (\frac{y^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 6.8.2

Simplifica.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{y^{5}}{5} + \frac{3 y^{4}}{4} + y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 6.8.3

Reordena los términos.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + \frac{3}{4} y^{4} + y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 7

Divide cada término en $(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + \frac{3}{4} y^{4} + y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C$ por $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + \frac{3}{4} y^{4} + y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C$ por $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ .

$\frac{(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} = \frac{\frac{1}{5} y^{5}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{1}{5} y^{5}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $y^{5}$ .

$x = \frac{\frac{y^{5}}{5}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Paso 7.3.1.2

Factoriza $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ mediante el teorema del binomio.

$x = \frac{\frac{y^{5}}{5}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Paso 7.3.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{y^{5}}{5} \cdot \frac{1}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Paso 7.3.1.4

Combinar.

$x = \frac{y^{5} \cdot 1}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Paso 7.3.1.5

Multiplica $y^{5}$ por $1$ .

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Paso 7.3.1.6

Combina $\frac{3}{4}$ y $y^{4}$ .

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3 y^{4}}{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Paso 7.3.1.7

Factoriza $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ mediante el teorema del binomio.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3 y^{4}}{4}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Paso 7.3.1.8

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4} \cdot \frac{1}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Paso 7.3.1.9

Combinar.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4} \cdot 1}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Paso 7.3.1.10

Multiplica $3$ por $1$ .

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Paso 7.3.1.11

Factoriza $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ mediante el teorema del binomio.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Paso 7.3.1.12

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{y^{2}}{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Paso 7.3.1.13

Factoriza $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ mediante el teorema del binomio.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{y^{2}}{2}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Paso 7.3.1.14

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{1}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Paso 7.3.1.15

Combinar.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{2} \cdot 1}{2 {(y + 1)}^{4}} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Paso 7.3.1.16

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{2}}{2 {(y + 1)}^{4}} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Paso 7.3.1.17

Factoriza $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ mediante el teorema del binomio.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{2}}{2 {(y + 1)}^{4}} + \frac{C}{{(y + 1)}^{4}}$