Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} + \frac{y}{t} = 3 t$ , $y (2) = 8$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ .

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $\frac{y}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} + y \frac{1}{t} = 3 t$

Paso 1.2

Reordena $y$ y $\frac{1}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{1}{t} y = 3 t$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = \frac{1}{t}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{1}{t} d t}$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{t}$ con respecto a $t$ es $\ln (| t |)$ .

$e^{\ln (| t |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (t)}$

Paso 2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$t$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $t$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $t$ .

$t \frac{d y}{d t} + t (\frac{1}{t} y) = t (3 t)$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{t}$ y $y$ .

$t \frac{d y}{d t} + t \frac{y}{t} = t (3 t)$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$t \frac{d y}{d t} + t \frac{y}{t} = t (3 t)$

Paso 3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$t \frac{d y}{d t} + y = t (3 t)$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$t \frac{d y}{d t} + y = 3 t \cdot t$

Paso 3.4

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1

Mueve $t$ .

$t \frac{d y}{d t} + y = 3 (t \cdot t)$

Paso 3.4.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$t \frac{d y}{d t} + y = 3 t^{2}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [t y] = 3 t^{2}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [t y] d t = \int 3 t^{2} d t$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$t y = \int 3 t^{2} d t$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$t y = 3 \int t^{2} d t$

Paso 7.2

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$t y = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Paso 7.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.3.1

Reescribe $3 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$ como $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$ .

$t y = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$

Paso 7.3.2

Simplifica.

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Paso 7.3.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$t y = \frac{3}{3} t^{3} + C$

Paso 7.3.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$t y = \frac{3}{3} t^{3} + C$

Paso 7.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$t y = 1 t^{3} + C$

Paso 7.3.2.3

Multiplica $t^{3}$ por $1$ .

$t y = t^{3} + C$

Paso 8

Divide cada término en $t y = t^{3} + C$ por $t$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $t y = t^{3} + C$ por $t$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{t^{3}}{t} + \frac{C}{t}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{t y}{t} = \frac{t^{3}}{t} + \frac{C}{t}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{t^{3}}{t} + \frac{C}{t}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Cancela el factor común de $t^{3}$ y $t$ .

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Paso 8.3.1.1

Factoriza $t$ de $t^{3}$ .

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Paso 8.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t^{1}} + \frac{C}{t}$

Paso 8.3.1.2.2

Factoriza $t$ de $t^{1}$ .

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Paso 8.3.1.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Paso 8.3.1.2.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{t^{2}}{1} + \frac{C}{t}$

Paso 8.3.1.2.5

Divide $t^{2}$ por $1$ .

$y = t^{2} + \frac{C}{t}$

Paso 9

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $2$ por $t$ y de $8$ por $y$ en $y = t^{2} + \frac{C}{t}$ .

$8 = 2^{2} + \frac{C}{2}$

Paso 10

Resuelve $C$

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $2^{2} + \frac{C}{2} = 8$ .

$2^{2} + \frac{C}{2} = 8$

Paso 10.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 + \frac{C}{2} = 8$

Paso 10.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.3.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{C}{2} = 8 - 4$

Paso 10.3.2

Resta $4$ de $8$ .

$\frac{C}{2} = 4$

Paso 10.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{C}{2} = 2 \cdot 4$

Paso 10.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 10.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.5.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.5.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{C}{2} = 2 \cdot 4$

Paso 10.5.1.1.2

Reescribe la expresión.

$C = 2 \cdot 4$

Paso 10.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.5.2.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$C = 8$

Paso 11

Sustituye $8$ por $C$ en $y = t^{2} + \frac{C}{t}$ y simplifica.

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Paso 11.1

Sustituye $8$ por $C$ .

$y = t^{2} + \frac{8}{t}$