Cálculo Ejemplos

$\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Paso 1.2

Como $\frac{1}{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y}{x}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Paso 1.4

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = y^{3} - \ln (x)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3} - \ln (x)]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.2.2

Como $y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{1}{x}$

Paso 2.4

Resta $\frac{1}{x}$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{1}{x}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- \frac{1}{x}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- \frac{1}{x}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $M$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $M$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{y}{x}}$

Paso 4.3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}) \frac{x}{y}$

Paso 4.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 - 1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Paso 4.3.4

Resta $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Paso 4.3.5.2

Reescribe la expresión.

$- 2 \frac{1}{y}$

Paso 4.3.6

Combina $- 2$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y}$

Paso 4.3.7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Paso 5.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 5.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Simplifica $- 2 \ln (| y |)$ al mover $- 2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Paso 5.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Paso 5.6.3

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{- 2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Paso 5.6.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{y}{x}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Paso 6.2

Combinar.

$\frac{y \cdot 1}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $y$ y $y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Factoriza $y$ de $y \cdot 1$ .

$\frac{y (1)}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Paso 6.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.1

Factoriza $y$ de $x y^{2}$ .

$\frac{y (1)}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Paso 6.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y \cdot 1}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Paso 6.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $y^{3} - \ln (x)$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $y^{3} - \ln (x)$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x y} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = \frac{1}{x y}$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Dado que $\frac{1}{y}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{y}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int \frac{1}{x} d x$

Paso 8.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\ln (| x |) + C)$

Paso 8.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Simplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \ln (| x |) + C$

Paso 8.3.2

Combina $\frac{1}{y}$ y $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Paso 11

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)] = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.1

Reescribe.

$\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Paso 12.1.2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Paso 12.1.2.2

Como $\frac{1}{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y}{x}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 12.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Paso 12.1.2.4

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Paso 12.1.3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = y^{3} - \ln (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3} - \ln (x)]$

Paso 12.1.3.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 12.1.3.2.2

Como $y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 12.1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 12.1.3.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{1}{x}$

Paso 12.1.3.4

Resta $\frac{1}{x}$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{1}{x}$

Paso 12.1.4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.4.1

Sustituye $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- \frac{1}{x}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$

Paso 12.1.4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$ no es una identidad.

Paso 12.1.5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.5.1

Sustituye $- \frac{1}{x}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 12.1.5.2

Sustituye $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{M}$

Paso 12.1.5.3

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $M$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.5.3.1

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $M$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{y}{x}}$

Paso 12.1.5.3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}) \frac{x}{y}$

Paso 12.1.5.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 - 1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Paso 12.1.5.3.4

Resta $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Paso 12.1.5.3.5

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.5.3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Paso 12.1.5.3.5.2

Reescribe la expresión.

$- 2 \frac{1}{y}$

Paso 12.1.5.3.6

Combina $- 2$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y}$

Paso 12.1.5.3.7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Paso 12.1.5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Paso 12.1.6

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Paso 12.1.6.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 12.1.6.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 12.1.6.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 12.1.6.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Paso 12.1.6.6

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.6.6.1

Simplifica $- 2 \ln (| y |)$ al mover $- 2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Paso 12.1.6.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Paso 12.1.6.6.3

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{- 2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Paso 12.1.6.6.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Paso 12.1.7

Multiplica ambos lados de $\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y^{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.7.1

Multiplica $\frac{y}{x}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Paso 12.1.7.2

Combinar.

$\frac{y \cdot 1}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Paso 12.1.7.3

Cancela el factor común de $y$ y $y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.7.3.1

Factoriza $y$ de $y \cdot 1$ .

$\frac{y (1)}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Paso 12.1.7.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.7.3.2.1

Factoriza $y$ de $x y^{2}$ .

$\frac{y (1)}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Paso 12.1.7.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y \cdot 1}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Paso 12.1.7.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Paso 12.1.7.4

Multiplica $y^{3} - \ln (x)$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 12.1.7.5

Multiplica $y^{3} - \ln (x)$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} d y = 0$

Paso 12.1.8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x y} d x$

Paso 12.1.9

Integra $M (x, y) = \frac{1}{x y}$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.9.1

Dado que $\frac{1}{y}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{y}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int \frac{1}{x} d x$

Paso 12.1.9.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\ln (| x |) + C)$

Paso 12.1.9.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.9.3.1

Simplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \ln (| x |) + C$

Paso 12.1.9.3.2

Combina $\frac{1}{y}$ y $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + C$

Paso 12.1.10

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$

Paso 12.1.11

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Paso 12.1.12

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.1.12.1

Simplifica $\frac{d}{d y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.12.1.1

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.12.1.1.1

Cancela el factor común de $d$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.12.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)) = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Paso 12.1.12.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)) = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Paso 12.1.12.1.1.2

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $\frac{\ln (| x |)}{y} + g y$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |)}{y} + g y}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Paso 12.1.12.1.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.12.1.2.1

Para escribir $g y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |)}{y} + \frac{g y \cdot y}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Paso 12.1.12.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g y \cdot y}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Paso 12.1.12.1.2.3

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.12.1.2.3.1

Mueve $y$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g (y \cdot y)}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Paso 12.1.12.1.2.3.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Paso 12.1.12.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Paso 12.1.12.1.4

Multiplica $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.12.1.4.1

Multiplica $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y \cdot y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Paso 12.1.12.1.4.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1} y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Paso 12.1.12.1.4.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1} y^{1}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Paso 12.1.12.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1 + 1}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Paso 12.1.12.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Paso 12.1.13

Multiplica cada término en $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$ por $y^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 12.1.13.1

Multiplica cada término en $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$ por $y^{2}$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Paso 12.1.13.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.1.13.2.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 12.1.13.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Paso 12.1.13.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| x |) + g y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Paso 12.1.13.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.1.13.3.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 12.1.13.3.1.1

Cancela el factor común.

$\ln (| x |) + g y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Paso 12.1.13.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| x |) + g y^{2} = y^{3} - \ln (x)$

Paso 12.1.14

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| x |) + \ln (x) = - g y^{2} + y^{3}$

Paso 12.1.15

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| x | x) = - g y^{2} + y^{3}$

Paso 12.1.16

Reordena los factores en $\ln (| x | x)$ .

$\ln (x | x |) = - g y^{2} + y^{3}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $- g y^{2} + y^{3}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\ln (x | x |) = - g y^{2} + y^{3}$ .

$\int \ln (x | x |) d y = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Paso 13.2

Reescribe.

$0 + 0 + g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Paso 13.3

Suma $0$ y $0$ .

$0 + g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Paso 13.4

Evalúa $\int \ln (x | x |) d y$ .

$g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Paso 13.5

Divide la única integral en varias integrales.

$g (y) = \int - g y^{2} d y + \int y^{3} d y$

Paso 13.6

Dado que $- g$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- g$ fuera de la integral.

$g (y) = - g \int y^{2} d y + \int y^{3} d y$

Paso 13.7

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - g (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int y^{3} d y$

Paso 13.8

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = - g (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 13.9

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$g (y) = - g (\frac{y^{3}}{3} + C) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 13.10

Simplifica.

$g (y) = - \frac{y^{3} g}{3} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 13.11

Simplifica.

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Paso 13.11.1

Reordena los términos.

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3} g) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 13.11.2

Elimina los paréntesis.

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3}) g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 13.11.3

Elimina los paréntesis.

$g (y) = - \frac{1}{3} y^{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{1}{3} y^{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 15

Simplifica cada término.

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Paso 15.1

Combina $y^{3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{y^{3}}{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 15.2

Combina $g$ y $\frac{y^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{g y^{3}}{3} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 15.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{g y^{3}}{3} + \frac{y^{4}}{4} + C$