Cálculo Ejemplos

$x y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1}$ por $x y$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $x y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1}$ por $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Paso 1.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Paso 1.1.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1} \cdot \frac{1}{x y}$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $\frac{x^{2} + 1}{y + 1}$ por $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{(y + 1) (x y)}$

Paso 1.1.3.3

Reordena los factores en $\frac{x^{2} + 1}{(y + 1) x y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x y (y + 1)}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $y (y + 1)$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = y (y + 1) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y \cdot y + y \cdot 1) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Paso 1.4.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + y \cdot 1) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Paso 1.4.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + y) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Paso 1.4.4

Multiplica $\frac{x^{2} + 1}{x}$ por $\frac{1}{y (y + 1)}$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + y) \frac{x^{2} + 1}{x (y (y + 1))}$

Paso 1.4.5

Multiplica $y^{2} + y$ por $\frac{x^{2} + 1}{x y (y + 1)}$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} + y) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Paso 1.4.6

Factoriza $y$ de $y^{2} + y$ .

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Paso 1.4.6.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot y + y) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Paso 1.4.6.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot y + y^{1}) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Paso 1.4.6.3

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot y + y \cdot 1) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Paso 1.4.6.4

Factoriza $y$ de $y \cdot y + y \cdot 1$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{y (y + 1) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Paso 1.4.7

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.7.1

Cancela el factor común.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{y (y + 1) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Paso 1.4.7.2

Reescribe la expresión.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (x^{2} + 1)}{x (y + 1)}$

Paso 1.4.8

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 1.4.8.1

Cancela el factor común.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (x^{2} + 1)}{x (y + 1)}$

Paso 1.4.8.2

Reescribe la expresión.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$y (y + 1) d y = \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y (y + 1) d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Multiplica $y (y + 1)$ .

$\int y \cdot y + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int y^{1} y + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 2.2.2.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int y^{1} y^{1} + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 2.2.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int y^{1 + 1} + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 2.2.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int y^{2} + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 2.2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$\int y^{2} + y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 2.2.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y^{2} d y + \int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 2.2.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 2.2.5

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$