Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \frac{1}{x y^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Resta $\frac{1}{x y^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y - \frac{1}{x y^{2}} = 0$

Paso 1.1.1.2

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} - \frac{1}{x y^{2}} = 0$

Paso 1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Resta $\frac{y}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x y^{2}} = - \frac{y}{x}$

Paso 1.1.2.2

Suma $\frac{1}{x y^{2}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x y^{2}}$

Paso 1.2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Para escribir $- \frac{y}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{x y^{2}}$

Paso 1.2.2

Multiplica $\frac{y}{x}$ por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \cdot y^{2}}{x y^{2}} + \frac{1}{x y^{2}}$

Paso 1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y \cdot y^{2} + 1}{x y^{2}}$

Paso 1.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1.1

Mueve $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2} y) + 1}{x y^{2}}$

Paso 1.2.4.1.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2} y^{1}) + 1}{x y^{2}}$

Paso 1.2.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2 + 1} + 1}{x y^{2}}$

Paso 1.2.4.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{3} + 1}{x y^{2}}$

Paso 1.2.4.2

Reescribe $- y^{3}$ como ${(- y)}^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(- y)}^{3} + 1}{x y^{2}}$

Paso 1.2.4.3

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(- y)}^{3} + 1^{3}}{x y^{2}}$

Paso 1.2.4.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = - y$ y $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) ({(- y)}^{2} - - y \cdot 1 + 1^{2})}{x y^{2}}$

Paso 1.2.4.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.5.1

Aplica la regla del producto a $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) ({(- 1)}^{2} y^{2} - - y \cdot 1 + 1^{2})}{x y^{2}}$

Paso 1.2.4.5.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (1 y^{2} - - y \cdot 1 + 1^{2})}{x y^{2}}$

Paso 1.2.4.5.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} - - y \cdot 1 + 1^{2})}{x y^{2}}$

Paso 1.2.4.5.4

Multiplica $- - y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.5.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} + 1 y \cdot 1 + 1^{2})}{x y^{2}}$

Paso 1.2.4.5.4.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2})}{x y^{2}}$

Paso 1.2.4.5.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} + y + 1^{2})}{x y^{2}}$

Paso 1.2.4.5.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)}{x y^{2}}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)}$ .

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} (\frac{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Combinar.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \cdot \frac{(- y + 1) (y^{2} + y + 1) \cdot 1}{y^{2} x}$

Paso 1.5.2

Combinar.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((- y + 1) (y^{2} + y + 1) \cdot 1)}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} x)}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((- y + 1) (y^{2} + y + 1) \cdot 1)}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} x)}$

Paso 1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} + y + 1) \cdot 1}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1) (x)}$

Paso 1.5.4

Cancela el factor común de $- y + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} + y + 1) \cdot 1}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1) x}$

Paso 1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} + y + 1) \cdot 1}{(y^{2} + y + 1) (x)}$

Paso 1.5.5

Cancela el factor común de $y^{2} + y + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} + y + 1) \cdot 1}{(y^{2} + y + 1) x}$

Paso 1.5.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Sea $u = (- y + 1) (y^{2} + y + 1)$ . Entonces $d u = - 3 y^{2} d y$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Deja $u = (- y + 1) (y^{2} + y + 1)$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $(- y + 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(- y + 1) (y^{2} + y + 1)]$

Paso 2.2.1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = - y + 1$ y $g (y) = y^{2} + y + 1$ .

$(- y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2} + y + 1] + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [- y + 1]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$(- y + 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [- y + 1]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(- y + 1) (2 y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [- y + 1]$

Paso 2.2.1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(- y + 1) (2 y + 1 + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [- y + 1]$

Paso 2.2.1.1.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$(- y + 1) (2 y + 1 + 0) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [- y + 1]$

Paso 2.2.1.1.3.5

Suma $2 y + 1$ y $0$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [- y + 1]$

Paso 2.2.1.1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $- y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])$

Paso 2.2.1.1.3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Paso 2.2.1.1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])$

Paso 2.2.1.1.3.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (- 1 + \frac{d}{d y} [1])$

Paso 2.2.1.1.3.10

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (- 1 + 0)$

Paso 2.2.1.1.3.11

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.3.11.1

Suma $- 1$ y $0$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \cdot - 1$

Paso 2.2.1.1.3.11.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y^{2} + y + 1$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) - 1 \cdot (y^{2} + y + 1)$

Paso 2.2.1.1.3.11.3

Reescribe $- 1 (y^{2} + y + 1)$ como $- (y^{2} + y + 1)$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) - (y^{2} + y + 1)$

Paso 2.2.1.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(- y + 1) (2 y + 1) - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(- y + 1) (2 y) + (- y + 1) \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- y (2 y) + 1 (2 y) + (- y + 1) \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- y (2 y) + 1 (2 y) - y \cdot 1 + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.4.5

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.4.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 y \cdot y + 1 (2 y) - y \cdot 1 + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.4.5.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (y^{1} y) + 1 (2 y) - y \cdot 1 + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.4.5.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (y^{1} y^{1}) + 1 (2 y) - y \cdot 1 + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.4.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 y^{1 + 1} + 1 (2 y) - y \cdot 1 + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.4.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$- 2 y^{2} + 1 (2 y) - y \cdot 1 + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.4.5.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 2 y^{2} + 2 y - y \cdot 1 + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.4.5.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 y^{2} + 2 y - y + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.4.5.8

Multiplica $1$ por $1$ .

$- 2 y^{2} + 2 y - y + 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.4.5.9

Resta $y$ de $2 y$ .

$- 2 y^{2} + y + 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.4.5.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 y^{2} + y + 1 - y^{2} - y - 1$

Paso 2.2.1.1.4.5.11

Resta $y^{2}$ de $- 2 y^{2}$ .

$- 3 y^{2} + y + 1 - y - 1$

Paso 2.2.1.1.4.5.12

Resta $y$ de $y$ .

$- 3 y^{2} + 0 + 1 - 1$

Paso 2.2.1.1.4.5.13

Suma $- 3 y^{2}$ y $0$ .

$- 3 y^{2} + 1 - 1$

Paso 2.2.1.1.4.5.14

Resta $1$ de $1$ .

$- 3 y^{2} + 0$

Paso 2.2.1.1.4.5.15

Suma $- 3 y^{2}$ y $0$ .

$- 3 y^{2}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2.3

Mueve $3$ a la izquierda de $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(- y + 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (- y + 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (- y + 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (- y + 1) (y^{2} + y + 1) |) = \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (- y + 1) (y^{2} + y + 1) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Simplifica $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (- y + 1) (y^{2} + y + 1) |))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.1

Expande $(- y + 1) (y^{2} + y + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y \cdot y^{2} - y \cdot y - y \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.1.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.1.1.1

Mueve $y^{2}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - (y^{2} y) - y \cdot y - y \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.1.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.1.1.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - (y^{2} y^{1}) - y \cdot y - y \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{2 + 1} - y \cdot y - y \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y \cdot y - y \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.1.2.1

Mueve $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - (y \cdot y) - y \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y^{2} - y \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y^{2} - y + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.4

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y^{2} - y + y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y^{2} - y + y^{2} + y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.6

Multiplica $1$ por $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y^{2} - y + y^{2} + y + 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.2.1

Combina los términos opuestos en $- y^{3} - y^{2} - y + y^{2} + y + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.2.1.1

Suma $- y^{2}$ y $y^{2}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y + 0 + y + 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.1.2

Suma $- y^{3} - y$ y $0$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y + y + 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.1.3

Suma $- y$ y $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} + 0 + 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.1.4

Suma $- y^{3}$ y $0$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} + 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.2

Combina $\ln (| - y^{3} + 1 |)$ y $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| - y^{3} + 1 |)}{3}) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| - y^{3} + 1 |)}{3}$ al numerador.

$- 3 \frac{- \ln (| - y^{3} + 1 |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.3.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| - y^{3} + 1 |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.3.3

Cancela el factor común.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - y^{3} + 1 |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.3.4

Reescribe la expresión.

$- - \ln (| - y^{3} + 1 |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.4

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| - y^{3} + 1 |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.4.2

Multiplica $\ln (| - y^{3} + 1 |)$ por $1$ .

$\ln (| - y^{3} + 1 |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| - y^{3} + 1 |) = - 3 \ln (| x |) - 3 C$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| - y^{3} + 1 |) + 3 \ln (| x |) = - 3 C$

Paso 3.4

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Simplifica $\ln (| - y^{3} + 1 |) + 3 \ln (| x |)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1.1

Simplifica $3 \ln (| x |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\ln (| - y^{3} + 1 |) + \ln ({| x |}^{3}) = - 3 C$

Paso 3.4.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3}) = - 3 C$

Paso 3.5

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3})} = e^{- 3 C}$

Paso 3.6

Reescribe $\ln (| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3}) = - 3 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 C} = | - y^{3} + 1 | {| x |}^{3}$

Paso 3.7

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1

Reescribe la ecuación como $| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ .

$| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$

Paso 3.7.2

Divide cada término en $| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ por ${| x |}^{3}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.1

Divide cada término en $| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ por ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Paso 3.7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.2.1

Cancela el factor común de ${| x |}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Paso 3.7.2.2.1.2

Divide $| - y^{3} + 1 |$ por $1$ .

$| - y^{3} + 1 | = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Paso 3.7.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$- y^{3} + 1 = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Paso 3.7.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$

Paso 3.7.5

Divide cada término en $- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.5.1

Divide cada término en $- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.7.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.7.5.2.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.7.5.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.5.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.5.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.7.5.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ como $- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ .

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.7.5.3.1.3

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1$

Paso 3.7.6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{C}{{| x |}^{3}}) + 1}$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \sqrt[3]{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 1}$