Cálculo Ejemplos

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Paso 1.2

Como $\frac{1}{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y}{x}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Paso 1.4

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + \ln (| x |)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Paso 2.2.2

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = | x |$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

Paso 2.3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

Paso 2.3.2

La derivada de $| x |$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

Paso 2.3.3

Multiplica $\frac{1}{| x |}$ por $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

Paso 2.3.4

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

Paso 2.3.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

Paso 2.3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

Paso 2.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

Paso 2.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Suma $0$ y $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

Paso 2.4.2

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

Paso 2.4.3

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 2.4.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

Paso 2.4.3.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 2.4.3.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.3.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Paso 2.4.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Paso 2.4.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $\frac{1}{x}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = \frac{y}{x}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Dado que $y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $y$ fuera de la integral.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

Paso 5.3

Simplifica.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Paso 8

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y \ln (| x |) + g (y)] = y^{2} + \ln (| x |)$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1.1

Reescribe.

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

Paso 9.1.2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

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Paso 9.1.2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Paso 9.1.2.2

Como $\frac{1}{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y}{x}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 9.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Paso 9.1.2.4

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Paso 9.1.3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ .

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Paso 9.1.3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

Paso 9.1.3.2

Diferencia.

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Paso 9.1.3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + \ln (| x |)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Paso 9.1.3.2.2

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Paso 9.1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

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Paso 9.1.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = | x |$ .

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Paso 9.1.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

Paso 9.1.3.3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

Paso 9.1.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

Paso 9.1.3.3.2

La derivada de $| x |$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

Paso 9.1.3.3.3

Multiplica $\frac{1}{| x |}$ por $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

Paso 9.1.3.3.4

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

Paso 9.1.3.3.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

Paso 9.1.3.3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

Paso 9.1.3.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

Paso 9.1.3.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

Paso 9.1.3.4

Simplifica.

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Paso 9.1.3.4.1

Suma $0$ y $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

Paso 9.1.3.4.2

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

Paso 9.1.3.4.3

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 9.1.3.4.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

Paso 9.1.3.4.3.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 9.1.3.4.3.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.3.4.3.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Paso 9.1.3.4.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Paso 9.1.3.4.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Paso 9.1.4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 9.1.4.1

Sustituye $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $\frac{1}{x}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Paso 9.1.4.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ es una identidad.

Paso 9.1.5

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

Paso 9.1.6

Integra $M (x, y) = \frac{y}{x}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1.6.1

Dado que $y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $y$ fuera de la integral.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

Paso 9.1.6.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

Paso 9.1.6.3

Simplifica.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

Paso 9.1.7

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

Paso 9.1.8

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Paso 9.1.9

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.1.9.1

Simplifica $\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y))$ .

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Paso 9.1.9.1.1

Cancela el factor común de $d$ .

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Paso 9.1.9.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

Paso 9.1.9.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

Paso 9.1.9.1.2

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $y \ln (| x |) + g y$ .

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Paso 9.1.9.1.3

Factoriza $y$ de $y \ln (| x |) + g y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.9.1.3.1

Factoriza $y$ de $y \ln (| x |)$ .

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Paso 9.1.9.1.3.2

Factoriza $y$ de $g y$ .

$\frac{y \ln (| x |) + y g}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Paso 9.1.9.1.3.3

Factoriza $y$ de $y \ln (| x |) + y g$ .

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Paso 9.1.9.1.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 9.1.9.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Paso 9.1.9.1.4.2

Divide $\ln (| x |) + g$ por $1$ .

$\ln (| x |) + g = y^{2} + \ln (| x |)$

Paso 9.1.10

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| x |) - \ln (| x |) = - g + y^{2}$

Paso 9.1.11

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

Paso 9.1.12

Cancela el factor común de $| x |$ .

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Paso 9.1.12.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

Paso 9.1.12.2

Reescribe la expresión.

$\ln (1) = - g + y^{2}$

Paso 9.1.13

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$0 = - g + y^{2}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $- g + y^{2}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $0 = - g + y^{2}$ .

$\int 0 d y = \int - g + y^{2} d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int 0 d y$ .

$g (y) = \int - g + y^{2} d y$

Paso 10.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (y) = \int - g d y + \int y^{2} d y$

Paso 10.4

Aplica la regla de la constante.

$g (y) = - g y + C + \int y^{2} d y$

Paso 10.5

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - g y + C + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 10.6

Simplifica.

$g (y) = - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 12

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{y^{3}}{3} + C$