Cálculo Ejemplos

$(2 x^{2} + 3 y^{2}) d y + (3 x^{2} + 4 x y) d x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Reescribe.

$(3 x^{2} + 4 x y) d x + (2 x^{2} + 3 y^{2}) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 3 x^{2} + 4 x y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + 4 x y]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 4 x y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x y]$

Paso 2.2.2

Como $3 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [4 x y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [4 x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $4 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4 x y$ con respecto a $y$ es $4 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 x \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 x \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 x$

Paso 2.4

Suma $0$ y $4 x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 2 x^{2} + 3 y^{2}$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 y^{2}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + 3 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Paso 3.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.4.1

Como $3 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 0$

Paso 3.4.2

Suma $4 x$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $4 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $4 x$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x = 4 x$

Paso 4.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$4 x = 4 x$ es una identidad.

Paso 5

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} + 4 x y d x$

Paso 6

Integra $M (x, y) = 3 x^{2} + 4 x y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 6.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x y d x$

Paso 6.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x y d x$

Paso 6.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 4 x y d x$

Paso 6.4

Dado que $4 y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4 y$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 y \int x d x$

Paso 6.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 6.6

Simplifica.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 y \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 6.7

Simplifica.

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Paso 6.7.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 4 y \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 6.7.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.7.2.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 4 y \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 6.7.2.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = 1 x^{3} + 4 y \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 6.7.3

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$f (x, y) = x^{3} + 4 y \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 6.7.4

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + y \frac{4}{2} x^{2} + C$

Paso 6.7.5

Combina $y$ y $\frac{4}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{y \cdot 4}{2} x^{2} + C$

Paso 6.7.6

Mueve $4$ a la izquierda de $y$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{4 \cdot y}{2} x^{2} + C$

Paso 6.7.7

Multiplica $4$ por $y$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{4 y}{2} x^{2} + C$

Paso 6.7.8

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 6.7.8.1

Factoriza $2$ de $4 y$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (2 y)}{2} x^{2} + C$

Paso 6.7.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.7.8.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (2 y)}{2 (1)} x^{2} + C$

Paso 6.7.8.2.2

Cancela el factor común.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Paso 6.7.8.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 y}{1} x^{2} + C$

Paso 6.7.8.2.4

Divide $2 y$ por $1$ .

$f (x, y) = x^{3} + 2 y x^{2} + C$

Paso 7

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} + 2 y x^{2} + g (y)$

Paso 8

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Paso 9

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 9.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3} + 2 y x^{2} + g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Paso 9.2

Diferencia.

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Paso 9.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 2 y x^{2} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Paso 9.2.2

Como $x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{3}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Paso 9.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y x^{2}]$ .

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Paso 9.3.1

Como $2 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y x^{2}$ con respecto a $y$ es $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Paso 9.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Paso 9.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + 2 x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Paso 9.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 2 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Paso 9.5

Simplifica.

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Paso 9.5.1

Suma $0$ y $2 x^{2}$ .

$2 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Paso 9.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{2} = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Paso 10

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 10.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.1.1

Resta $2 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 2 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x^{2}$

Paso 10.1.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x^{2}$ .

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Paso 10.1.2.1

Resta $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 0$

Paso 10.1.2.2

Suma $3 y^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2}$

Paso 11

Obtén la antiderivada de $3 y^{2}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 11.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 3 y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y^{2} d y$

Paso 11.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 y^{2} d y$

Paso 11.3

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$g (y) = 3 \int y^{2} d y$

Paso 11.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Paso 11.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.5.1

Reescribe $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ como $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Paso 11.5.2

Simplifica.

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Paso 11.5.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + C$

Paso 11.5.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + C$

Paso 11.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$g (y) = 1 y^{3} + C$

Paso 11.5.2.3

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$g (y) = y^{3} + C$

Paso 12

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = x^{3} + 2 y x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} + 2 y x^{2} + y^{3} + C$