Cálculo Ejemplos

$2 x^{2} - 3 \frac{d y}{d x} = 5$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Resta $2 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 \frac{d y}{d x} = 5 - 2 x^{2}$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $- 3 \frac{d y}{d x} = 5 - 2 x^{2}$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $- 3 \frac{d y}{d x} = 5 - 2 x^{2}$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 \frac{d y}{d x}}{- 3} = \frac{5}{- 3} + \frac{- 2 x^{2}}{- 3}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 \frac{d y}{d x}}{- 3} = \frac{5}{- 3} + \frac{- 2 x^{2}}{- 3}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{- 3} + \frac{- 2 x^{2}}{- 3}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{- 3}$

Paso 1.1.2.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{3} + \frac{2 x^{2}}{3}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = (- \frac{5}{3} + \frac{2 x^{2}}{3}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int - \frac{5}{3} + \frac{2 x^{2}}{3} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{5}{3} + \frac{2 x^{2}}{3} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int - \frac{5}{3} d x + \int \frac{2 x^{2}}{3} d x$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + C_{2} + \int \frac{2 x^{2}}{3} d x$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + C_{2} + \frac{2}{3} \int x^{2} d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + C_{2} + \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica.

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

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Paso 2.3.5.2.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + \frac{2}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + \frac{2}{9} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \frac{5}{3} x + \frac{2}{9} x^{3} + K$