Cálculo Ejemplos

$2 x y + (1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = 0$ , $y (0) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x y + 1 \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1.1.1.2

Multiplica $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$2 x y + \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1.1.2

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

Paso 1.1.3

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

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Paso 1.1.3.1

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + x^{2} \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

Paso 1.1.3.2

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x y$

Paso 1.1.3.3

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$

Paso 1.1.4

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$ por $1 + x^{2}$ y simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$ por $1 + x^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.4.2.1

Cancela el factor común de $1 + x^{2}$ .

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Paso 1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} y$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

Paso 1.4.2.2

Factoriza $y$ de $\frac{2 x}{1 + x^{2}} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

Paso 1.4.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

Paso 1.4.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.3.4

Sea $u = 1 + x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.4.1

Deja $u = 1 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.4.1.1

Diferencia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.3.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.4.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.4.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 2.3.4.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 2.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 2.3.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 2.3.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.7.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.7.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 2.3.9

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |) = C$

Paso 3.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | 1 + x^{2} |) = C$

Paso 3.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| y (1 + x^{2}) |) = C$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y \cdot 1 + y x^{2} |) = C$

Paso 3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$\ln (| y + y x^{2} |) = C$

Paso 3.6

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y + y x^{2} |)} = e^{C}$

Paso 3.7

Reescribe $\ln (| y + y x^{2} |) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y + y x^{2} |$

Paso 3.8

Resuelve $y$

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Paso 3.8.1

Reescribe la ecuación como $| y + y x^{2} | = e^{C}$ .

$| y + y x^{2} | = e^{C}$

Paso 3.8.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y + y x^{2} = \pm e^{C}$

Paso 3.8.3

Factoriza $y$ de $y + y x^{2}$ .

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Paso 3.8.3.1

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 + y x^{2} = \pm e^{C}$

Paso 3.8.3.2

Factoriza $y$ de $y x^{2}$ .

$y \cdot 1 + y (x^{2}) = \pm e^{C}$

Paso 3.8.3.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (x^{2})$ .

$y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$

Paso 3.8.4

Divide cada término en $y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$ por $1 + x^{2}$ y simplifica.

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Paso 3.8.4.1

Divide cada término en $y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$ por $1 + x^{2}$ .

$\frac{y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

Paso 3.8.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.8.4.2.1

Cancela el factor común de $1 + x^{2}$ .

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Paso 3.8.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

Paso 3.8.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{C}{1 + x^{2}}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $y = \frac{C}{1 + x^{2}}$ .

$1 = \frac{C}{1 + 0^{2}}$

Paso 6

Resuelve $C$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{C}{1 + 0^{2}} = 1$ .

$\frac{C}{1 + 0^{2}} = 1$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $1 + 0^{2}$ .

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0^{2}} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Paso 6.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.1

Simplifica $(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0^{2}}$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.3.1.1.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Paso 6.3.1.1.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Paso 6.3.1.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.3.1.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$(1 + 0) \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Paso 6.3.1.1.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$1 \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Paso 6.3.1.1.2.3

Multiplica $\frac{C}{1}$ por $1$ .

$\frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Paso 6.3.1.1.2.4

Divide $C$ por $1$ .

$C = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica $(1 + 0^{2}) \cdot 1$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$C = (1 + 0) \cdot 1$

Paso 6.3.2.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$C = 1 \cdot 1$

Paso 6.3.2.1.3

Multiplica $1$ por $1$ .

$C = 1$

Paso 7

Sustituye $1$ por $C$ en $y = \frac{C}{1 + x^{2}}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $1$ por $C$ .

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}$