Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Divide $\frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide la fracción $\frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$ en dos fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x y} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Paso 1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x y} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Paso 1.1.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.1.2.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Paso 1.1.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Paso 1.1.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Paso 1.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{y}$

Paso 1.2

Supón $\sqrt{y^{2}} = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{y^{2}}}$

Paso 1.3

Combina $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ y $\sqrt{y^{2}}$ en un solo radical.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}}$

Paso 1.4

Divide $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}$ y simplifica.

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Paso 1.4.1

Divide la fracción $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}$ en dos fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{y^{2}}}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{y^{2}}}$

Paso 1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación diferencial como $f (\frac{y}{x})$ .

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Paso 1.5.1

Reescribe $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ como ${(\frac{x}{y})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{(\frac{x}{y})}^{2} + 1}$

Paso 1.5.2

Reescribe $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{({(\frac{y}{x})}^{- 1})}^{2} + 1}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Simplifica $V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$ .

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Paso 6.1.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(V^{- 1})}^{2}$ .

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Paso 6.1.1.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{- 1 \cdot 2} + 1}$

Paso 6.1.1.1.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{- 2} + 1}$

Paso 6.1.1.1.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1}{V^{2}} + 1}$

Paso 6.1.1.1.1.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1}{V^{2}} + \frac{V^{2}}{V^{2}}}$

Paso 6.1.1.1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1 + V^{2}}{V^{2}}}$

Paso 6.1.1.1.1.5

Reescribe $\frac{1 + V^{2}}{V^{2}}$ como ${(\frac{1}{V})}^{2} (1 + V^{2})$ .

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Paso 6.1.1.1.1.5.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $1 + V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2}}}$

Paso 6.1.1.1.1.5.2

Factoriza la potencia perfecta $V^{2}$ de $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2} \cdot 1}}$

Paso 6.1.1.1.1.5.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2} \cdot 1}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{{(\frac{1}{V})}^{2} (1 + V^{2})}$

Paso 6.1.1.1.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{V} \sqrt{1 + V^{2}}$

Paso 6.1.1.1.1.7

Combina $\frac{1}{V}$ y $\sqrt{1 + V^{2}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Paso 6.1.1.1.2

Para escribir $V$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{V}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Paso 6.1.1.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Paso 6.1.1.1.4

Multiplica $V$ por $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Paso 6.1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.1.2.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Paso 6.1.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.2.2.1

Divide la fracción $\frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ en dos fracciones.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Paso 6.1.1.2.2.2

Cancela el factor común de $V^{2}$ y $V$ .

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Paso 6.1.1.2.2.2.1

Factoriza $V$ de $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Paso 6.1.1.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.1.2.2.2.2.1

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V^{1}} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Paso 6.1.1.2.2.2.2.2

Factoriza $V$ de $V^{1}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V \cdot 1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Paso 6.1.1.2.2.2.2.3

Cancela el factor común.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V \cdot 1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Paso 6.1.1.2.2.2.2.4

Reescribe la expresión.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Paso 6.1.1.2.2.2.2.5

Divide $V$ por $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Paso 6.1.1.2.3

Combina los términos opuestos en $V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$ .

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Paso 6.1.1.2.3.1

Resta $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} + 0$

Paso 6.1.1.2.3.2

Suma $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ y $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Paso 6.1.1.3

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2

Combinar.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Paso 6.1.1.3.3.3

Multiplica $\sqrt{1 + V^{2}}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V x}$

Paso 6.1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.4.1

Multiplica $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.1.4.2.1

Multiplica $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} \sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4.2.2

Eleva $\sqrt{1 + V^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} \sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4.2.3

Eleva $\sqrt{1 + V^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + V^{2}}}^{1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1 + 1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4.2.6

Reescribe ${\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}$ como $1 + V^{2}$ .

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Paso 6.1.4.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + V^{2}}$ como ${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.4.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4.2.6.5

Simplifica.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4.3

Combinar.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Paso 6.1.4.4

Cancela el factor común de $V$ .

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Paso 6.1.4.4.1

Factoriza $V$ de $V \sqrt{1 + V^{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V (\sqrt{1 + V^{2}})}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Paso 6.1.4.4.2

Factoriza $V$ de $V x$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V (\sqrt{1 + V^{2}})}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V (x)}$

Paso 6.1.4.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Paso 6.1.4.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{x}$

Paso 6.1.4.5

Multiplica $\sqrt{1 + V^{2}}$ por $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Paso 6.1.4.6

Multiplica $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}}$ por $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \sqrt{1 + V^{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Paso 6.1.4.7

Eleva $\sqrt{1 + V^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} \sqrt{1 + V^{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Paso 6.1.4.8

Eleva $\sqrt{1 + V^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + V^{2}}}^{1}}{(1 + V^{2}) x}$

Paso 6.1.4.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1 + 1}}{(1 + V^{2}) x}$

Paso 6.1.4.10

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Paso 6.1.4.11

Reescribe ${\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}$ como $1 + V^{2}$ .

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Paso 6.1.4.11.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + V^{2}}$ como ${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Paso 6.1.4.11.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(1 + V^{2}) x}$

Paso 6.1.4.11.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Paso 6.1.4.11.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.4.11.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Paso 6.1.4.11.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{1}}{(1 + V^{2}) x}$

Paso 6.1.4.11.5

Simplifica.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Paso 6.1.4.12

Cancela el factor común de $1 + V^{2}$ .

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Paso 6.1.4.12.1

Cancela el factor común.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Paso 6.1.4.12.2

Reescribe la expresión.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 6.1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Sea $u = 1 + V^{2}$ . Entonces $d u = 2 V d V$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Deja $u = 1 + V^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d V}$ .

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Paso 6.2.2.1.1.1

Diferencia $1 + V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [1 + V^{2}]$

Paso 6.2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + V^{2}$ con respecto a $V$ es $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Paso 6.2.2.1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $1$ con respecto a $V$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Paso 6.2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ es $n V^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 V$

Paso 6.2.2.1.1.5

Suma $0$ y $2 V$ .

$2 V$

Paso 6.2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

Simplifica.

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Paso 6.2.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.2.4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6

Simplifica.

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Paso 6.2.2.6.1

Reescribe $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ como $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.2.6.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6.2.3

Multiplica $u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + V^{2}$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

Paso 6.3

Resuelve $V$

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Paso 6.3.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica ${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Paso 6.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Paso 6.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(1 + V^{2})}^{1} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Paso 6.3.2.1.2

Simplifica.

$1 + V^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Paso 6.3.3

Resuelve $V$

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Paso 6.3.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$V^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1$

Paso 6.3.3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$V = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1}$

Paso 6.3.3.3

Simplifica $\pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1}$ .

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Paso 6.3.3.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$V = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1^{2}}$

Paso 6.3.3.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \ln (| x |) + C$ y $b = 1$ .

$V = \pm \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Paso 6.3.3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.3.3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Paso 6.3.3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.