Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - 5 y = - \frac{5}{2} x y^{3}$

Paso 1

Para resolver la ecuación diferencial, sea $v = y^{1 - n}$ donde $n$ es el exponente de $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

Paso 2

Resuelve la ecuación en $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3

Calcula la derivada de $y$ con respecto a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Paso 4

Calcula la derivada de $v^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Calcula la derivada de $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.4.2

Multiplica los exponentes en ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Paso 4.5

Simplifica.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Paso 4.6

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Paso 4.6.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.2.1

Multiplica $v^{\frac{1}{2}}$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Paso 4.6.2.2

Resta $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Paso 4.6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = v$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.7.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.11

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.11.2

Resta $2$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.13

Combina $\frac{1}{2}$ y $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.14

Mueve $v^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.15

Reescribe $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Paso 4.16

Combina $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ y $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Paso 4.17

Reescribe $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ como un producto.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Paso 4.18

Multiplica $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Paso 4.19

Eleva $v$ a la potencia de $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Paso 4.20

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 4.21

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 4.22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 4.23

Suma $2$ y $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5

Sustituye $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{d y}{d x}$ y $v^{- \frac{1}{2}}$ por $y$ en la ecuación original $\frac{d y}{d x} - 5 y = - \frac{5}{2} x y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} - 5 v^{- \frac{1}{2}} = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - 5 v^{- \frac{1}{2}} = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ por $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - 5 v^{- \frac{1}{2}} = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ por $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.2.1.1

Cancela el factor común de $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ al numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.1.2

Factoriza $2 v^{\frac{3}{2}}$ de $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.3

Multiplica $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.4

Multiplica $v^{- \frac{1}{2}}$ por $v^{\frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.2.1.4.1

Mueve $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} - 5 v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d v}{d x} - 5 v^{\frac{3 - 1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.4.4

Resta $1$ de $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 v^{\frac{2}{2}} (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.4.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 v^{1} (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.5

Simplifica $- 5 v^{1} (- 1 \cdot (2))$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 v (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 v \cdot - 2 = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.7

Multiplica $- 2$ por $- 5$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.1

Combina $x$ y $\frac{5}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{x \cdot 5}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.3.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.2.1

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 \cdot x}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.3.2.2.2

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.2.2.2.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{- 3 (\frac{1}{2})} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.3.2.2.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{\frac{- 3}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.3.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{- \frac{3}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.3.3

Multiplica $v^{- \frac{3}{2}}$ por $v^{\frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.3.1

Mueve $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}}) (- 1 \cdot (2))$

Paso 6.1.3.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}} (- 1 \cdot (2))$

Paso 6.1.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{\frac{3 - 3}{2}} (- 1 \cdot (2))$

Paso 6.1.3.3.4

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{\frac{0}{2}} (- 1 \cdot (2))$

Paso 6.1.3.3.5

Divide $0$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{0} (- 1 \cdot (2))$

Paso 6.1.3.4

Simplifica $- \frac{5 x}{2} v^{0} (- 1 \cdot (2))$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} (- 1 \cdot (2))$

Paso 6.1.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5 x}{2}$ al numerador.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = \frac{- 5 x}{2} (- 1 \cdot (2))$

Paso 6.1.3.5.2

Factoriza $2$ de $- 1 \cdot (2)$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = \frac{- 5 x}{2} (2 \cdot - 1)$

Paso 6.1.3.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = \frac{- 5 x}{2} (2 \cdot - 1)$

Paso 6.1.3.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - 5 x \cdot - 1$

Paso 6.1.3.6

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = 5 x$

Paso 6.2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Establece la integración.

$e^{\int 10 d x}$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{10 x + C}$

Paso 6.2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{10 x}$

Paso 6.3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{10 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Multiplica cada término por $e^{10 x}$ .

$e^{10 x} \frac{d v}{d x} + e^{10 x} (10 v) = e^{10 x} (5 x)$

Paso 6.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{10 x} \frac{d v}{d x} + 10 e^{10 x} v = e^{10 x} (5 x)$

Paso 6.3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{10 x} \frac{d v}{d x} + 10 e^{10 x} v = 5 e^{10 x} x$

Paso 6.3.4

Reordena los factores en $e^{10 x} \frac{d v}{d x} + 10 e^{10 x} v = 5 e^{10 x} x$ .

$e^{10 x} \frac{d v}{d x} + 10 v e^{10 x} = 5 x e^{10 x}$

Paso 6.4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{10 x} v] = 5 x e^{10 x}$

Paso 6.5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{10 x} v] d x = \int 5 x e^{10 x} d x$

Paso 6.6

Integra el lado izquierdo.

$e^{10 x} v = \int 5 x e^{10 x} d x$

Paso 6.7

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.7.1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$e^{10 x} v = 5 \int x e^{10 x} d x$

Paso 6.7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{10 x}$ .

$e^{10 x} v = 5 (x (\frac{1}{10} e^{10 x}) - \int \frac{1}{10} e^{10 x} d x)$

Paso 6.7.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.7.3.1

Combina $\frac{1}{10}$ y $e^{10 x}$ .

$e^{10 x} v = 5 (x \frac{e^{10 x}}{10} - \int \frac{1}{10} e^{10 x} d x)$

Paso 6.7.3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{10 x}}{10}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \int \frac{1}{10} e^{10 x} d x)$

Paso 6.7.3.3

Combina $\frac{1}{10}$ y $e^{10 x}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \int \frac{e^{10 x}}{10} d x)$

Paso 6.7.4

Dado que $\frac{1}{10}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{10}$ fuera de la integral.

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - (\frac{1}{10} \int e^{10 x} d x))$

Paso 6.7.5

Sea $u = 10 x$ . Entonces $d u = 10 d x$ , de modo que $\frac{1}{10} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.7.5.1

Deja $u = 10 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.7.5.1.1

Diferencia $10 x$ .

$\frac{d}{d x} [10 x]$

Paso 6.7.5.1.2

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.7.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 \cdot 1$

Paso 6.7.5.1.4

Multiplica $10$ por $1$ .

$10$

Paso 6.7.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{10} \int e^{u} \frac{1}{10} d u)$

Paso 6.7.6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{10}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{10} \int \frac{e^{u}}{10} d u)$

Paso 6.7.7

Dado que $\frac{1}{10}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{10}$ fuera de la integral.

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{10} (\frac{1}{10} \int e^{u} d u))$

Paso 6.7.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.7.8.1

Multiplica $\frac{1}{10}$ por $\frac{1}{10}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{10 \cdot 10} \int e^{u} d u)$

Paso 6.7.8.2

Multiplica $10$ por $10$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{100} \int e^{u} d u)$

Paso 6.7.9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{100} (e^{u} + C))$

Paso 6.7.10

Reescribe $5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{100} (e^{u} + C))$ como $5 (\frac{1}{10} x e^{10 x} - \frac{1}{100} e^{u}) + C$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{1}{10} x e^{10 x} - \frac{1}{100} e^{u}) + C$

Paso 6.7.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $10 x$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{1}{10} x e^{10 x} - \frac{1}{100} e^{10 x}) + C$

Paso 6.7.12

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.7.12.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.7.12.1.1

Combina $\frac{1}{10}$ y $x$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x}{10} e^{10 x} - \frac{1}{100} e^{10 x}) + C$

Paso 6.7.12.1.2

Combina $\frac{x}{10}$ y $e^{10 x}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{100} e^{10 x}) + C$

Paso 6.7.12.1.3

Combina $e^{10 x}$ y $\frac{1}{100}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{e^{10 x}}{100}) + C$

Paso 6.7.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{10 x} v = 5 \frac{x e^{10 x}}{10} + 5 (- \frac{e^{10 x}}{100}) + C$

Paso 6.7.12.3

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.7.12.3.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$e^{10 x} v = 5 \frac{x e^{10 x}}{5 (2)} + 5 (- \frac{e^{10 x}}{100}) + C$

Paso 6.7.12.3.2

Cancela el factor común.

$e^{10 x} v = 5 \frac{x e^{10 x}}{5 \cdot 2} + 5 (- \frac{e^{10 x}}{100}) + C$

Paso 6.7.12.3.3

Reescribe la expresión.

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} + 5 (- \frac{e^{10 x}}{100}) + C$

Paso 6.7.12.4

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.7.12.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{10 x}}{100}$ al numerador.

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} + 5 \frac{- e^{10 x}}{100} + C$

Paso 6.7.12.4.2

Factoriza $5$ de $100$ .

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} + 5 \frac{- e^{10 x}}{5 (20)} + C$

Paso 6.7.12.4.3

Cancela el factor común.

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} + 5 \frac{- e^{10 x}}{5 \cdot 20} + C$

Paso 6.7.12.4.4

Reescribe la expresión.

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} + \frac{- e^{10 x}}{20} + C$

Paso 6.7.12.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} - \frac{e^{10 x}}{20} + C$

Paso 6.7.13

Reordena los términos.

$e^{10 x} v = \frac{1}{2} x e^{10 x} - \frac{1}{20} e^{10 x} + C$

Paso 6.8

Divide cada término en $e^{10 x} v = \frac{1}{2} x e^{10 x} - \frac{1}{20} e^{10 x} + C$ por $e^{10 x}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.1

Divide cada término en $e^{10 x} v = \frac{1}{2} x e^{10 x} - \frac{1}{20} e^{10 x} + C$ por $e^{10 x}$ .

$\frac{e^{10 x} v}{e^{10 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Paso 6.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.2.1

Cancela el factor común de $e^{10 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{10 x} v}{e^{10 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Paso 6.8.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} x e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Paso 6.8.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{10 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$v = \frac{\frac{1}{2} x e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Paso 6.8.3.1.1.2

Divide $\frac{1}{2} x$ por $1$ .

$v = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Paso 6.8.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{10 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$v = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Paso 6.8.3.1.2.2

Divide $- \frac{1}{20}$ por $1$ .

$v = \frac{1}{2} x - \frac{1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Paso 6.8.3.2

Resta $\frac{1}{20}$ de $\frac{1}{2} x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.3.2.1

Reordena $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$v = x \frac{1}{2} - \frac{1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Paso 6.8.3.2.2

Para escribir $x \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{20}{20}$ .

$v = x \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{20} - \frac{1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Paso 6.8.3.2.3

Combina $x \frac{1}{2}$ y $\frac{20}{20}$ .

$v = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 20}{20} - \frac{1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Paso 6.8.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$v = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 20 - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Paso 6.8.3.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.3.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$v = \frac{\frac{x}{2} \cdot 20 - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Paso 6.8.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $20$ .

$v = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (10)) - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Paso 6.8.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$v = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 10) - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Paso 6.8.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$v = \frac{x \cdot 10 - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Paso 6.8.3.3.3

Mueve $10$ a la izquierda de $x$ .

$v = \frac{10 x - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Paso 6.8.3.4

Para escribir $\frac{10 x - 1}{20}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{10 x}}{e^{10 x}}$ .

$v = \frac{10 x - 1}{20} \cdot \frac{e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Paso 6.8.3.5

Para escribir $\frac{C}{e^{10 x}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{20}{20}$ .

$v = \frac{10 x - 1}{20} \cdot \frac{e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}} \cdot \frac{20}{20}$

Paso 6.8.3.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $20 e^{10 x}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.3.6.1

Multiplica $\frac{10 x - 1}{20}$ por $\frac{e^{10 x}}{e^{10 x}}$ .

$v = \frac{(10 x - 1) e^{10 x}}{20 e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}} \cdot \frac{20}{20}$

Paso 6.8.3.6.2

Multiplica $\frac{C}{e^{10 x}}$ por $\frac{20}{20}$ .

$v = \frac{(10 x - 1) e^{10 x}}{20 e^{10 x}} + \frac{C \cdot 20}{e^{10 x} \cdot 20}$

Paso 6.8.3.6.3

Reordena los factores de $e^{10 x} \cdot 20$ .

$v = \frac{(10 x - 1) e^{10 x}}{20 e^{10 x}} + \frac{C \cdot 20}{20 e^{10 x}}$

Paso 6.8.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$v = \frac{(10 x - 1) e^{10 x} + C \cdot 20}{20 e^{10 x}}$

Paso 6.8.3.8

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$v = \frac{10 x e^{10 x} - 1 e^{10 x} + C \cdot 20}{20 e^{10 x}}$

Paso 6.8.3.8.2

Reescribe $- 1 e^{10 x}$ como $- e^{10 x}$ .

$v = \frac{10 x e^{10 x} - e^{10 x} + C \cdot 20}{20 e^{10 x}}$

Paso 6.8.3.8.3

Mueve $20$ a la izquierda de $C$ .

$v = \frac{10 x e^{10 x} - e^{10 x} + 20 C}{20 e^{10 x}}$

Paso 7

Sustituye $y^{- 2}$ por $v$ .

$y^{- 2} = \frac{10 x e^{10 x} - e^{10 x} + 20 C}{20 e^{10 x}}$