Cálculo Ejemplos

$\frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x}) = 6 x + 3$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$\frac{d}{d x} d y = (6 x + 3) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} d y = \int 6 x + 3 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la constante.

$\frac{d}{d x} y + C_{1} = \int 6 x + 3 d x$

Paso 2.2.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.2.1

Combina $\frac{d}{d x}$ y $y$ .

$\frac{d y}{d x} + C_{1} = \int 6 x + 3 d x$

Paso 2.2.2.2

Reescribe $\frac{d y}{d x} + C_{1}$ como $\frac{1}{d x} d y + C_{1}$ .

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = \int 6 x + 3 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = \int 6 x d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 6 \int x d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 3 d x$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 6 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 3 x^{2} + 3 x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{d x} d y = 3 x^{2} + 3 x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Simplifica $\frac{1}{d x} d y$ .

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Paso 3.1.1

Combina $\frac{1}{d x}$ y $d$ .

$\frac{d}{d x} y = 3 x^{2} + 3 x + K$

Paso 3.1.2

Combina $\frac{d}{d x}$ y $y$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 3 x + K$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados por $d x$ .

$\frac{d y}{d x} d x = (3 x^{2} + 3 x + K) d x$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común de $d x$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} d x = (3 x^{2} + 3 x + K) d x$

Paso 3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$d y = (3 x^{2} + 3 x + K) d x$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica $(3 x^{2} + 3 x + K) d x$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$d y = 3 x^{2} d x + 3 x d x + K d x$

Paso 3.3.2.1.2

Reordena.

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Paso 3.3.2.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$d y = 3 d x x^{2} + 3 x d x + K d x$

Paso 3.3.2.1.2.2

Mueve $x$ .

$d y = 3 d x x^{2} + 3 d x x + K d x$

Paso 3.3.2.1.2.3

Mueve $3 d x x$ .

$d y = 3 d x x^{2} + K d x + 3 d x x$

Paso 3.4

Divide cada término en $d y = 3 d x x^{2} + K d x + 3 d x x$ por $d$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $d y = 3 d x x^{2} + K d x + 3 d x x$ por $d$ .

$\frac{d y}{d} = \frac{3 d x x^{2}}{d} + \frac{K d x}{d} + \frac{3 d x x}{d}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $d$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d} = \frac{3 d x x^{2}}{d} + \frac{K d x}{d} + \frac{3 d x x}{d}$

Paso 3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{3 d x x^{2}}{d} + \frac{K d x}{d} + \frac{3 d x x}{d}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{3 d x x^{2}}{d} + \frac{K}{d} + \frac{3 d x x}{d}$