Cálculo Ejemplos

$4 t x \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Divide cada término en $4 t x \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1$ por $4 t x$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Divide cada término en $4 t x \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1$ por $4 t x$ .

$\frac{4 t x \frac{d x}{d t}}{4 t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 t x \frac{d x}{d t}}{4 t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Paso 1.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{t x \frac{d x}{d t}}{t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{t x \frac{d x}{d t}}{t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Paso 1.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \frac{d x}{d t}}{x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Paso 1.1.2.3

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d x}{d t}}{x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Paso 1.1.2.3.2

Divide $\frac{d x}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Paso 1.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $4 t x$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{x (4 t)} + \frac{1}{4 t x}$

Paso 1.1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{x (4 t)} + \frac{1}{4 t x}$

Paso 1.1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x}{4 t} + \frac{1}{4 t x}$

Paso 1.2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Para escribir $\frac{x}{4 t}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x}{4 t} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{4 t x}$

Paso 1.2.2

Multiplica $\frac{x}{4 t}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Paso 1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x + 1}{4 t x}$

Paso 1.2.4

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x^{2} + 1}{4 t x}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{t}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} (\frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{t})$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{x^{2} + 1}{4 x}$ por $\frac{1}{t}$ .

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{4 x t}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $4 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1

Factoriza $4 x$ de $4 x t$ .

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{4 x (t)}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{4 x t}$

Paso 1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{t}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{t}$

Paso 1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{t}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{t} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2.2

Sea $u = x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Deja $u = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.2.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.2.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 2.2.2.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$4 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2.5.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2.5.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2.5.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$2 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{t}$ con respecto a $t$ es $\ln (| t |)$ .

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| t |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) = \ln (| t |) + C$

Paso 3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) - \ln (| t |) = C$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Simplifica $2 \ln (| x^{2} + 1 |) - \ln (| t |)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) - \ln (| t |) = C$

Paso 3.2.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - \ln (| t |) = C$

Paso 3.2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |}) = C$

Paso 3.3

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |})} = e^{C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |}$

Paso 3.5

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} = e^{C}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} = e^{C}$

Paso 3.5.2

Multiplica ambos lados por $| t |$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común de $| t |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

Paso 3.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

${(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C} | t |$

Paso 3.5.4

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.4.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x^{2} + 1 = \pm \sqrt{e^{C} | t |}$

Paso 3.5.4.2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.4.2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x^{2} + 1 = \sqrt{e^{C} | t |}$

Paso 3.5.4.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = \sqrt{e^{C} | t |} - 1$

Paso 3.5.4.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Paso 3.5.4.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.4.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Paso 3.5.4.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Paso 3.5.4.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Paso 3.5.4.2.5

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x^{2} + 1 = - \sqrt{e^{C} | t |}$

Paso 3.5.4.2.6

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - \sqrt{e^{C} | t |} - 1$

Paso 3.5.4.2.7

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Paso 3.5.4.2.8

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.4.2.8.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Paso 3.5.4.2.8.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Paso 3.5.4.2.8.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Paso 3.5.4.2.9

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$x = \sqrt{\sqrt{C | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{C | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{C | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{C | t |} - 1}$