Cálculo Ejemplos

$(x y^{2} + y - x) d x + x (x y + 1) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x y^{2} + y - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} + y - x]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x y^{2} + y - x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y^{2}$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 1.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 1.4

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 1.4.2

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1 + 0$

Paso 1.4.3

Suma $2 x y + 1$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x (x y + 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x y + 1)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x y + 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x y + 1] + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y + 0) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.6

Suma $y$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y + (x y + 1) \cdot 1$

Paso 2.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.8.1

Multiplica $x y + 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y + x y + 1$

Paso 2.3.8.2

Suma $x y$ y $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y + 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $2 x y + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x y + 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y + 1 = 2 x y + 1$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 x y + 1 = 2 x y + 1$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x (x y + 1) d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = x (x y + 1)$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Dado que $x$ es constante con respecto a $y$ , mueve $x$ fuera de la integral.

$f (x, y) = x \int x y + 1 d y$

Paso 5.2

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = x (\int x y d y + \int d y)$

Paso 5.3

Dado que $x$ es constante con respecto a $y$ , mueve $x$ fuera de la integral.

$f (x, y) = x (x \int y d y + \int d y)$

Paso 5.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x (x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int d y)$

Paso 5.5

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = x (x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + y + C)$

Paso 5.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = x (x (\frac{y^{2}}{2} + C) + y + C)$

Paso 5.7

Simplifica.

$f (x, y) = x (\frac{x y^{2}}{2} + y) + C$

Paso 5.8

Reordena los términos.

$f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{2} + y - x$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + g (x)] = x y^{2} + y - x$

Paso 8.2

Diferencia con la regla de la suma.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x}{2} y^{2} + y) + g (x)] = x y^{2} + y - x$

Paso 8.2.1.2

Combina $\frac{x}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y) + g (x)] = x y^{2} + y - x$

Paso 8.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x (\frac{x y^{2}}{2} + y) + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \frac{x y^{2}}{2} + y$ .

$x \frac{d}{d x} [\frac{x y^{2}}{2} + y] + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Paso 8.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x y^{2}}{2} + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x (\frac{d}{d x} [\frac{x y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [y]) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Paso 8.3.3

Como $\frac{y^{2}}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x y^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Paso 8.3.5

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} \cdot 1 + 0) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Paso 8.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} \cdot 1 + 0) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Paso 8.3.7

Multiplica $\frac{y^{2}}{2}$ por $1$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} + 0) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Paso 8.3.8

Suma $\frac{y^{2}}{2}$ y $0$ .

$x \frac{y^{2}}{2} + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Paso 8.3.9

Combina $x$ y $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{x y^{2}}{2} + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Paso 8.3.10

Multiplica $\frac{x y^{2}}{2} + y$ por $1$ .

$\frac{x y^{2}}{2} + \frac{x y^{2}}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Paso 8.3.11

Suma $\frac{x y^{2}}{2}$ y $\frac{x y^{2}}{2}$ .

$2 \frac{x y^{2}}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Paso 8.3.12

Combina $2$ y $\frac{x y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 (x y^{2})}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Paso 8.3.13

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.13.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x y^{2}}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Paso 8.3.13.2

Divide $x y^{2}$ por $1$ .

$x y^{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$x y^{2} + y + \frac{d g}{d x} = x y^{2} + y - x$

Paso 8.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x + y = x y^{2} + y - x$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Resta $y^{2} x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + y = x y^{2} + y - x - y^{2} x$

Paso 9.1.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} + y - x - y^{2} x - y$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en $x y^{2} + y - x - y^{2} x - y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.3.1

Reordena los factores en los términos $x y^{2}$ y $- y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} x + y - x - y^{2} x - y$

Paso 9.1.3.2

Resta $y^{2} x$ de $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y - x + 0 - y$

Paso 9.1.3.3

Suma $y - x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y - x - y$

Paso 9.1.3.4

Resta $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 0$

Paso 9.1.3.5

Suma $- x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $- x$ y obtén $g (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = - x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x d x$

Paso 10.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (x) = - \int x d x$

Paso 10.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 10.5

Reescribe $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$f (x, y) = x (\frac{x}{2} y^{2} + y) - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12.1.2

Combina $\frac{x}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = x (\frac{x y^{2}}{2} + y) - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = x \frac{x y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12.3

Multiplica $x \frac{x y^{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.1

Combina $x$ y $\frac{x y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x (x y^{2})}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12.3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x^{1} y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x, y) = \frac{x^{1 + 1} y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12.4

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + x y - \frac{x^{2}}{2} + C$