Cálculo Ejemplos

$\sqrt{y^{2} + 1} d x - x y d y = 0$

Paso 1

Resta $\sqrt{y^{2} + 1} d x$ de ambos lados de la ecuación.

$- x y d y = - \sqrt{y^{2} + 1} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- x y) d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Paso 3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (x y) d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (x y) d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Paso 3.2.2

Factoriza $x$ de $x \sqrt{y^{2} + 1}$ .

$\frac{- 1}{x (\sqrt{y^{2} + 1})} (x y) d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Paso 3.2.3

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{- 1}{x (\sqrt{y^{2} + 1})} (x (y)) d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (x y) d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Paso 3.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{\sqrt{y^{2} + 1}} y d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Paso 3.3

Combina $\frac{- 1}{\sqrt{y^{2} + 1}}$ y $y$ .

$\frac{- y}{\sqrt{y^{2} + 1}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Paso 3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}}$ por $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y^{2} + 1}}$ .

$- (\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y^{2} + 1}}) d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Paso 3.6

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Multiplica $\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}}$ por $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y^{2} + 1}}$ .

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y^{2} + 1}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Paso 3.6.2

Eleva $\sqrt{y^{2} + 1}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{\sqrt{y^{2} + 1}}^{1} \sqrt{y^{2} + 1}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Paso 3.6.3

Eleva $\sqrt{y^{2} + 1}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{\sqrt{y^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{y^{2} + 1}}^{1}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Paso 3.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{\sqrt{y^{2} + 1}}^{1 + 1}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Paso 3.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{\sqrt{y^{2} + 1}}^{2}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Paso 3.6.6

Reescribe ${\sqrt{y^{2} + 1}}^{2}$ como $y^{2} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y^{2} + 1}$ como ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Paso 3.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Paso 3.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Paso 3.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Paso 3.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{(y^{2} + 1)}^{1}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Paso 3.6.6.5

Simplifica.

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Paso 3.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} \sqrt{y^{2} + 1} d x$

Paso 3.8

Cancela el factor común de $\sqrt{y^{2} + 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}}$ al numerador.

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} \sqrt{y^{2} + 1} d x$

Paso 3.8.2

Factoriza $\sqrt{y^{2} + 1}$ de $x \sqrt{y^{2} + 1}$ .

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{\sqrt{y^{2} + 1} x} \sqrt{y^{2} + 1} d x$

Paso 3.8.3

Cancela el factor común.

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{\sqrt{y^{2} + 1} x} \sqrt{y^{2} + 1} d x$

Paso 3.8.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Paso 3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int - \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.2

Sea $u = y^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Deja $u = y^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.1

Diferencia $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Paso 4.2.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 4.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 4.2.2.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$2 y + 0$

Paso 4.2.2.1.5

Suma $2 y$ y $0$ .

$2 y$

Paso 4.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{u}}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$- \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.2.1

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5.2.2

Multiplica $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.2.2.1

Multiplica $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.2.2.1.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5.2.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.3.1

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5.3.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5.3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.7.1

Reescribe $- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ como $- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.7.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.7.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.7.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.7.2.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.7.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.7.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.7.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.7.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.7.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{1} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.7.2.3.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$- u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{2} + 1$ .

$- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 4.3.3

Simplifica.

$- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = - \ln (| x |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Divide cada término en $- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = - \ln (| x |) + C$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Divide cada término en $- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = - \ln (| x |) + C$ por $- 1$ .

$\frac{- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- 1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.1.2.2

Divide ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln (| x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.1.3.1.2

Divide $\ln (| x |)$ por $1$ .

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.1.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Paso 5.1.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) - C$

Paso 5.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) - C)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Simplifica ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) - C)}^{2}$

Paso 5.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) - C)}^{2}$

Paso 5.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y^{2} + 1)}^{1} = {(\ln (| x |) - C)}^{2}$

Paso 5.3.1.2

Simplifica.

$y^{2} + 1 = {(\ln (| x |) - C)}^{2}$

Paso 5.4

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = {(\ln (| x |) - C)}^{2} - 1$

Paso 5.4.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) - C)}^{2} - 1}$

Paso 5.4.3

Simplifica $\pm \sqrt{{(\ln (| x |) - C)}^{2} - 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) - C)}^{2} - 1^{2}}$

Paso 5.4.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \ln (| x |) - C$ y $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{(\ln (| x |) - C + 1) (\ln (| x |) - C - 1)}$

Paso 5.4.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{(\ln (| x |) - C + 1) (\ln (| x |) - C - 1)}$

Paso 5.4.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.