Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2} y^{2}}{1 + x}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{1 + x} y^{2}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1 + x}{x^{2}}$ .

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1 + x}{x^{2}} (\frac{x^{2}}{1 + x} y^{2})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Combina $\frac{x^{2}}{1 + x}$ y $y^{2}$ .

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1 + x}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} y^{2}}{1 + x}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $1 + x$ .

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1 + x}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} y^{2}}{1 + x}$

Paso 1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2})$

Paso 1.3.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.3.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (y^{2}))$

Paso 1.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2})$

Paso 1.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = y^{2}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1 + x}{x^{2}} d x = y^{2} d y$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1 + x}{x^{2}} d x = \int y^{2} d y$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int (1 + x) x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.2

Multiplica $(1 + x) x^{- 2}$ .

$\int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$\int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.3.2.1

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ .

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Paso 2.2.3.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.3.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$\int x^{- 2} + x^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C_{1} + \int x^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.6

La integral de $x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- x^{- 1} + C_{1} + \ln (| x |) + C_{2} = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$- \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{3} = \frac{1}{3} y^{3} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{x} + \ln (| x |) = \frac{1}{3} y^{3} + C$