Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} = 2 x e^{x} - y + 6 x^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d y}{d x} + y = 2 x e^{x} + 6 x^{2}$

Paso 1.2

Reordena los términos.

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + 2 e^{x} x$

Paso 2

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $x y$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Paso 2.4

Sustituye $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Paso 2.5

Reordena $y$ y $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Paso 2.6

Multiplica $y$ por $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x y] = 6 x^{2} + 2 e^{x} x$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 6 x^{2} + 2 e^{x} x d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$x y = \int 6 x^{2} + 2 e^{x} x d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Divide la única integral en varias integrales.

$x y = \int 6 x^{2} d x + \int 2 e^{x} x d x$

Paso 6.2

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$x y = 6 \int x^{2} d x + \int 2 e^{x} x d x$

Paso 6.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 e^{x} x d x$

Paso 6.4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int e^{x} x d x$

Paso 6.5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{x}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Paso 6.6

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Paso 6.7

Simplifica.

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Paso 6.7.1

Simplifica.

$x y = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Paso 6.7.2

Simplifica.

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Paso 6.7.2.1

Combina $6$ y $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{6}{3} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Paso 6.7.2.2

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 6.7.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Paso 6.7.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.7.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Paso 6.7.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Paso 6.7.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x y = \frac{2}{1} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Paso 6.7.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Paso 7

Divide cada término en $x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ por $x$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $2 x^{3}$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.1.2.5

Divide $2 x^{2}$ por $1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.2

Factoriza $e^{x}$ de $x e^{x} - e^{x}$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $x e^{x}$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} x - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} x + e^{x} \cdot - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x + e^{x} \cdot - 1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} (x - 1))}{x} + \frac{C}{x}$

$y = 2 x^{2} + \frac{2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.2

Para escribir $2 x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{2 x^{2} x}{x} + \frac{2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 x^{2} x + 2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 x^{2} x + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Paso 7.3.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.5.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Paso 7.3.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 7.3.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Paso 7.3.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Paso 7.3.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Paso 7.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x + 2 e^{x} \cdot - 1 + C}{x}$

Paso 7.3.6.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x - 2 e^{x} + C}{x}$

Paso 7.3.7

Reordena los factores en $\frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x - 2 e^{x} + C}{x}$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C}{x}$