Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - e^{- x}}{y + e^{y}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y + e^{y}$ .

$(y + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (y + e^{y}) \frac{x - e^{- x}}{y + e^{y}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y + e^{y}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$(y + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (y + e^{y}) \frac{x - e^{- x}}{y + e^{y}}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$(y + e^{y}) \frac{d y}{d x} = x - e^{- x}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(y + e^{y}) d y = (x - e^{- x}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y + e^{y} d y = \int x - e^{- x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y d y + \int e^{y} d y = \int x - e^{- x} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int e^{y} d y = \int x - e^{- x} d x$

Paso 2.2.3

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + e^{y} + C_{2} = \int x - e^{- x} d x$

Paso 2.2.4

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \int x - e^{- x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \int x d x + \int - e^{- x} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - e^{- x} d x$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - \int e^{- x} d x$

Paso 2.3.4

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.4.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.4.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.4.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.3.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - \int - e^{u} d u$

Paso 2.3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - - \int e^{u} d u$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + 1 \int e^{u} d u$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int e^{u} d u$

Paso 2.3.7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + e^{u} + C_{5}$

Paso 2.3.8

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + e^{u} + C_{6}$

Paso 2.3.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + e^{- x} + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} = \frac{1}{2} x^{2} + e^{- x} + K$