Cálculo Ejemplos

$y = 4 x {(x - 2)}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$\frac{d}{d x} [4 x ((x - 2) (x - 2))]$

Paso 2

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [4 x (x (x - 2) - 2 (x - 2))]$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [4 x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))]$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [4 x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)]$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)]$

Paso 3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)]$

Paso 3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)]$

Paso 3.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x (x^{2} - 4 x + 4)]$

Paso 4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x (x^{2} - 4 x + 4)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4 x + 4)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4 x + 4)]$

Paso 5

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} - 4 x + 4$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4] + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (x (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (x (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.5

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$4 (x (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.6

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 (x (2 x - 4 + 0) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.7

Suma $2 x - 4$ y $0$ .

$4 (x (2 x - 4) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (x (2 x - 4) + (x^{2} - 4 x + 4) \cdot 1)$

Paso 6.9

Multiplica $x^{2} - 4 x + 4$ por $1$ .

$4 (x (2 x - 4) + x^{2} - 4 x + 4)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (x (2 x) + x \cdot - 4 + x^{2} - 4 x + 4)$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (x (2 x)) + 4 (x \cdot - 4) + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Paso 7.3

Combina los términos.

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Paso 7.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 (2 (x^{1} x)) + 4 (x \cdot - 4) + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Paso 7.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 (2 (x^{1} x^{1})) + 4 (x \cdot - 4) + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Paso 7.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (2 x^{1 + 1}) + 4 (x \cdot - 4) + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Paso 7.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$4 (2 x^{2}) + 4 (x \cdot - 4) + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Paso 7.3.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x^{2} + 4 (x \cdot - 4) + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Paso 7.3.6

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$8 x^{2} + 4 (- 4 \cdot x) + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Paso 7.3.7

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$8 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Paso 7.3.8

Suma $8 x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 16 x + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Paso 7.3.9

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$12 x^{2} - 16 x - 16 x + 4 \cdot 4$

Paso 7.3.10

Resta $16 x$ de $- 16 x$ .

$12 x^{2} - 32 x + 4 \cdot 4$

Paso 7.3.11

Multiplica $4$ por $4$ .

$12 x^{2} - 32 x + 16$