Cálculo Ejemplos

$\int \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x$

Paso 2

Reescribe $x^{3}$ como ${(x^{3})}^{1}$ .

$3 \int \frac{x^{2}}{1 + {(x^{3})}^{1}} d x$

Paso 3

Sea $u_{1} = x^{3}$ . Entonces $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = x^{3}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{1 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica.

$3 \int \frac{1}{1 + u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{1 + u_{1}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{1}{(1 + u_{1}) \cdot 3} d u_{1}$

Paso 4.3

Mueve $3$ a la izquierda de $1 + u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{3 (1 + u_{1})} d u_{1}$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Paso 6.3

Multiplica $\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$ por $1$ .

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Paso 7

Sea $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 7.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 7.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 7.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Paso 9

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 9.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + u_{1}$ .

$\ln (| 1 + u_{1} |) + C$

Paso 9.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$\ln (| 1 + x^{3} |) + C$