Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{2} - 4}{x}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} - 4}{x})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 4$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.2.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.2.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 3.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 4)}{x^{2}}$

Paso 3.9

Simplifica.

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Paso 3.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 4}{x^{2}}$

Paso 3.9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 4}{x^{2}}$

Paso 3.9.2.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4}{x^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{x^{2} + 4}{x^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 4}{x^{2}}$