Cálculo Ejemplos

$\int_{a}^{b} \frac{g (x)}{| g (x) | \sqrt{{(g (x))}^{2} - 1}} d x$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x}{| g x | \sqrt{{(g x)}^{2} - 1^{2}}} d x]$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = g x$ y $b = 1$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x}{| g x | \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}} d x]$

Paso 2

Multiplica $\frac{g x}{| g x | \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}$ por $\frac{\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x}{| g x | \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}} d x]$

Paso 3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{g x}{| g x | \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}$ por $\frac{\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)} \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}} d x]$

Paso 3.2

Mueve $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | (\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)} \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)})} d x]$

Paso 3.3

Eleva $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | ({\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1} \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)})} d x]$

Paso 3.4

Eleva $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | ({\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1} {\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1})} d x]$

Paso 3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1 + 1}} d x]$

Paso 3.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{2}} d x]$

Paso 3.7

Reescribe ${\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{2}$ como $(g x + 1) (g x - 1)$ .

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Paso 3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ como ${((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {({((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x]$

Paso 3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x]$

Paso 3.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{2}{2}}} d x]$

Paso 3.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{2}{2}}} d x]$

Paso 3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{1}} d x]$

Paso 3.7.5

Simplifica.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | ((g x + 1) (g x - 1))} d x]$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Reescribe.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)} \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}} d x]$

Paso 4.2

Mueve $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | (\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)} \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)})} d x]$

Paso 4.3

Eleva $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | ({\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1} \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)})} d x]$

Paso 4.4

Eleva $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | ({\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1} {\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1})} d x]$

Paso 4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1 + 1}} d x]$

Paso 4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{2}} d x]$

Paso 4.7

Reescribe ${\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{2}$ como $(g x + 1) (g x - 1)$ .

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Paso 4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ como ${((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {({((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x]$

Paso 4.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x]$

Paso 4.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{2}{2}}} d x]$

Paso 4.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{2}{2}}} d x]$

Paso 4.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{1}} d x]$

Paso 4.7.5

Simplifica.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | ((g x + 1) (g x - 1))} d x]$

Paso 4.8

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | (g x + 1) (g x - 1)} d x]$

Paso 5

Calcula la derivada de $\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | (g x + 1) (g x - 1)} d x$ con respecto a $b$ mediante el teorema fundamental del cálculo.

$\frac{g b \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{| g b | (g b + 1) (g b - 1)}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{g b \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{(| g b | (g b) + | g b | \cdot 1) (g b - 1)}$

Paso 6.2

Multiplica $| g b |$ por $1$ .

$\frac{g b \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{(| g b | (g b) + | g b |) (g b - 1)}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$\frac{b g \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{(g b - 1) (| g b | (g b) + | g b |)}$

Paso 6.4

Factoriza $| g b |$ de $| g b | (g b) + | g b |$ .

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Paso 6.4.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{b g \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{(g b - 1) (| g b | (g b) + | g b | \cdot 1)}$

Paso 6.4.2

Factoriza $| g b |$ de $| g b | (g b) + | g b | \cdot 1$ .

$\frac{b g \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{(g b - 1) (| g b | (g b + 1))}$

$\frac{b g \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{(g b - 1) | g b | (g b + 1)}$

Paso 6.5

Reordena los factores en $\frac{b g \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{(g b - 1) | g b | (g b + 1)}$ .

$\frac{b g \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{| g b | (g b - 1) (g b + 1)}$