Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{6 k (k - 1)}{n^{3}}$

Paso 1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(6) (\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6})$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica los términos.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

$6 \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$n (n + 1) (2 n + 1)$

Paso 3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(n \cdot n + n \cdot 1) (2 n + 1)$

Paso 3.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.3.1

Multiplica $n$ por $n$ .

$(n^{2} + n \cdot 1) (2 n + 1)$

Paso 3.1.3.2

Multiplica $n$ por $1$ .

$(n^{2} + n) (2 n + 1)$

Paso 3.2

Expande $(n^{2} + n) (2 n + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$n^{2} (2 n + 1) + n (2 n + 1)$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n + 1)$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Paso 3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 n^{2} n + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $n^{2}$ por $n$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Mueve $n$ .

$2 (n \cdot n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $n$ por $n^{2}$ .

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Paso 3.3.1.2.2.1

Eleva $n$ a la potencia de $1$ .

$2 (n^{1} n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Paso 3.3.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 n^{1 + 2} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Paso 3.3.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$2 n^{3} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $n^{2}$ por $1$ .

$2 n^{3} + n^{2} + n (2 n) + n \cdot 1$

Paso 3.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n \cdot n + n \cdot 1$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $n$ por $n$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.5.1

Mueve $n$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 (n \cdot n) + n \cdot 1$

Paso 3.3.1.5.2

Multiplica $n$ por $n$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n \cdot 1$

Paso 3.3.1.6

Multiplica $n$ por $1$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n$

Paso 3.3.2

Suma $n^{2}$ y $2 n^{2}$ .

$2 n^{3} + 3 n^{2} + n$