Cálculo Ejemplos

$\int (3 \sec^{2} (4 x) + 3 \csc^{2} (4 x)) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int 3 \sec^{2} (4 x) + 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 \sec^{2} (4 x) d x + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 3

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \sec^{2} (4 x) d x + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 4

Sea $u_{1} = 4 x$ . Entonces $d u_{1} = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{1} = 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 4.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$3 \int \sec^{2} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1} + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 5

Combina $\sec^{2} (u_{1})$ y $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{4} \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 7

Combina $\frac{1}{4}$ y $3$ .

$\frac{3}{4} \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 8

Como la derivada de $\tan (u_{1})$ es $\sec^{2} (u_{1})$ , la integral de $\sec^{2} (u_{1})$ es $\tan (u_{1})$ .

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 9

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + 3 \int \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 10

Sea $u_{2} = 4 x$ . Entonces $d u_{2} = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 10.1

Deja $u_{2} = 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 10.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + 3 \int \csc^{2} (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Paso 11

Combina $\csc^{2} (u_{2})$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + 3 \int \frac{\csc^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + 3 (\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Paso 13

Combina $\frac{1}{4}$ y $3$ .

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + \frac{3}{4} \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Paso 14

Como la derivada de $- \cot (u_{2})$ es $\csc^{2} (u_{2})$ , la integral de $\csc^{2} (u_{2})$ es $- \cot (u_{2})$ .

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + \frac{3}{4} (- \cot (u_{2}) + C)$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica.

$\frac{3}{4} \tan (u_{1}) + \frac{3}{4} (- \cot (u_{2})) + C$

Paso 15.2

Combina $\frac{3}{4}$ y $\cot (u_{2})$ .

$\frac{3}{4} \tan (u_{1}) - \frac{3 \cot (u_{2})}{4} + C$

Paso 16

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 16.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$\frac{3}{4} \tan (4 x) - \frac{3 \cot (u_{2})}{4} + C$

Paso 16.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $4 x$ .

$\frac{3}{4} \tan (4 x) - \frac{3 \cot (4 x)}{4} + C$

Paso 17

Reordena los términos.

$\frac{3}{4} \tan (4 x) - \frac{3}{4} \cot (4 x) + C$