Cálculo Ejemplos

$6 x^{3} \sqrt{x} \csc (x)$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3} x^{\frac{1}{2}} \csc (x)]$

Paso 2

Multiplica $x^{3}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [6 (x^{\frac{1}{2}} x^{3}) \csc (x)]$

Paso 2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2} + 3} \csc (x)]$

Paso 2.3

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} \csc (x)]$

Paso 2.4

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} \csc (x)]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} \csc (x)]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1 + 6}{2}} \csc (x)]$

Paso 2.6.2

Suma $1$ y $6$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}} \csc (x)]$

Paso 3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{\frac{7}{2}} \csc (x)$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}} \csc (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}} \csc (x)]$

Paso 4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{7}{2}}$ y $g (x) = \csc (x)$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Paso 5

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{7}{2}$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}))$

Paso 7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}))$

Paso 10.2

Resta $2$ de $7$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}))$

Paso 11

Combina $\frac{7}{2}$ y $x^{\frac{5}{2}}$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2})$

Paso 12

Combina $\csc (x)$ y $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2})$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x))) + 6 \frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Paso 13.2

Combina los términos.

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Paso 13.2.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 6 (x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x))) + 6 \frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Paso 13.2.2

Combina $6$ y $\frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$ .

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{6 (\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}}))}{2}$

Paso 13.2.3

Multiplica $7$ por $6$ .

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{42 (\csc (x) (x^{\frac{5}{2}}))}{2}$

Paso 13.2.4

Factoriza $2$ de $42 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}$ .

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{2 (21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Paso 13.2.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.2.5.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{2 (21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)}$

Paso 13.2.5.2

Cancela el factor común.

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{2 (21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1}$

Paso 13.2.5.3

Reescribe la expresión.

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}}{1}$

Paso 13.2.5.4

Divide $21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}$ por $1$ .

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + 21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}$

Paso 13.3

Reordena los términos.

$- 6 x^{\frac{7}{2}} \cot (x) \csc (x) + 21 x^{\frac{5}{2}} \csc (x)$