Cálculo Ejemplos

$\int {(\frac{1 - \sqrt[3]{x}}{x^{2}})}^{\frac{1}{3}} d x$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1 - \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$ .

$\int \frac{{(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{3}}} d x$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}}}{x^{2 (\frac{1}{3})}} d x$

Paso 1.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{{(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Paso 1.3

Mueve $x^{\frac{2}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Paso 1.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Paso 1.4.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 1.4.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$\int {(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Paso 1.4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int {(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Paso 1.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int {(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 2

Sea $u = 1 - \sqrt[3]{x}$ . Entonces $d u = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} d x$ , de modo que $1 d u = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 1 - \sqrt[3]{x}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $1 - \sqrt[3]{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \sqrt[3]{x}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \sqrt[3]{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$

Paso 2.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2.1.3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 2.1.3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 2.1.3.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.1.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.1.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 2.1.3.7.2

Resta $3$ de $1$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 2.1.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 2.1.3.9

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$0 - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 2.1.3.10

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.4

Resta $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ de $0$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - 1 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\int - 3 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 4

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$- 3 \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- 3 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $- 3 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ como $- 3 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$- 3 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Combina $- 3$ y $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 3 \cdot 3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 6.2.2

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{- 9}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - \sqrt[3]{x}$ .

$- \frac{9}{4} {(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{4}{3}} + C$