Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{3} (x) d x$

Paso 1

Factoriza $\cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

Paso 2

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cos^{2} (x)$ como $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Paso 3

Sea $u = \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Paso 3.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Paso 3.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} d u + \int_{0}^{1} - u^{2} d u$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - u^{2} d u$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$u]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} u^{2} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Paso 8

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$u]_{0}^{1} - (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $u$ en $1$ y en $0$ .

$(1) + 0 - (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Paso 9.2

Evalúa $\frac{u^{3}}{3}$ en $1$ y en $0$ .

$1 + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Suma $1$ y $0$ .

$1 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 9.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 9.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Paso 9.3.4

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 9.3.4.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Paso 9.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.4.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 9.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 9.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Paso 9.3.4.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$1 - (\frac{1}{3} - 0)$

Paso 9.3.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} + 0)$

Paso 9.3.6

Suma $\frac{1}{3}$ y $0$ .

$1 - \frac{1}{3}$

Paso 9.3.7

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 9.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 - 1}{3}$

Paso 9.3.9

Resta $1$ de $3$ .

$\frac{2}{3}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{6}$