Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2}}{d x^{2}} (\frac{10}{3 x^{3}})$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $\frac{10}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{10}{3 x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Paso 1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Paso 1.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$\frac{10}{3} (- 3 x^{- 4})$

Paso 1.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.4.1

Combina $- 3$ y $\frac{10}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 10}{3} x^{- 4}$

Paso 1.4.2

Multiplica $- 3$ por $10$ .

$\frac{- 30}{3} x^{- 4}$

Paso 1.4.3

Combina $\frac{- 30}{3}$ y $x^{- 4}$ .

$\frac{- 30 x^{- 4}}{3}$

Paso 1.4.4

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 30}{3 x^{4}}$

Paso 1.4.5

Cancela el factor común de $- 30$ y $3$ .

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Paso 1.4.5.1

Factoriza $3$ de $- 30$ .

$\frac{3 \cdot - 10}{3 x^{4}}$

Paso 1.4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.5.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{3 \cdot - 10}{3 (x^{4})}$

Paso 1.4.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 10}{3 x^{4}}$

Paso 1.4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 10}{x^{4}}$

Paso 1.4.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{10}{x^{4}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{10}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$- 10 (- 4 x^{- 5})$

Paso 2.4

Multiplica $- 4$ por $- 10$ .

$40 x^{- 5}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$40 \frac{1}{x^{5}}$

Paso 2.5.2

Combina $40$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{40}{x^{5}}$