Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} (2 x - 3 \sqrt{x}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{1}^{4} 2 x - 3 \sqrt{x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Paso 6

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Paso 7

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Paso 9.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.2.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $4$ y en $1$ .

$2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Paso 9.2.2

Evalúa $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ en $4$ y en $1$ .

$2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3

Simplifica.

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Paso 9.2.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$2 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.2

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 9.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.2.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$2 (8 - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 (8 - \frac{1}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.4

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.5

Combina $8$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.3.7.1

Multiplica $8$ por $2$ .

$2 \frac{16 - 1}{2} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.7.2

Resta $1$ de $16$ .

$2 (\frac{15}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.8

Combina $2$ y $\frac{15}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.9

Multiplica $2$ por $15$ .

$\frac{30}{2} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.10

Cancela el factor común de $30$ y $2$ .

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Paso 9.2.3.10.1

Factoriza $2$ de $30$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.10.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2 (1)} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{15}{1} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.10.2.4

Divide $15$ por $1$ .

$15 - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.11

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$15 - 3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.12

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.13

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.3.13.1

Cancela el factor común.

$15 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.13.2

Reescribe la expresión.

$15 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.14

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$15 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.15

Multiplica $2$ por $8$ .

$15 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.16

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$15 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Paso 9.2.3.17

Multiplica $2$ por $1$ .

$15 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Paso 9.2.3.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$15 - 3 \frac{16 - 2}{3}$

Paso 9.2.3.19

Resta $2$ de $16$ .

$15 - 3 (\frac{14}{3})$

Paso 9.2.3.20

Combina $- 3$ y $\frac{14}{3}$ .

$15 + \frac{- 3 \cdot 14}{3}$

Paso 9.2.3.21

Multiplica $- 3$ por $14$ .

$15 + \frac{- 42}{3}$

Paso 9.2.3.22

Cancela el factor común de $- 42$ y $3$ .

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Paso 9.2.3.22.1

Factoriza $3$ de $- 42$ .

$15 + \frac{3 \cdot - 14}{3}$

Paso 9.2.3.22.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.22.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$15 + \frac{3 \cdot - 14}{3 (1)}$

Paso 9.2.3.22.2.2

Cancela el factor común.

$15 + \frac{3 \cdot - 14}{3 \cdot 1}$

Paso 9.2.3.22.2.3

Reescribe la expresión.

$15 + \frac{- 14}{1}$

Paso 9.2.3.22.2.4

Divide $- 14$ por $1$ .

$15 - 14$

Paso 9.2.3.23

Resta $14$ de $15$ .

$1$

Paso 10