Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{\frac{1 - c x}{1 + c x}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{1 - c x}{1 + c x}}$ como ${(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \frac{1 - c x}{1 + c x}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1 - c x}{1 + c x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1 - c x}{1 + c x}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

Paso 8

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1 - c x$ y $g (x) = 1 + c x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) \frac{d}{d x} [1 - c x] - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Paso 9

Diferencia.

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Paso 9.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - c x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- c x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- c x]) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Paso 9.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (0 + \frac{d}{d x} [- c x]) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Paso 9.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- c x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) \frac{d}{d x} [- c x] - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Paso 9.4

Como $- c$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- c x$ con respecto a $x$ es $- c \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c \frac{d}{d x} [x]) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Paso 9.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c \cdot 1) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Paso 9.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Paso 9.7

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + c x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [c x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [c x])}{{(1 + c x)}^{2}}$

Paso 9.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) (0 + \frac{d}{d x} [c x])}{{(1 + c x)}^{2}}$

Paso 9.9

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [c x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

Paso 9.10

Como $c$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $c x$ con respecto a $x$ es $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) (c \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + c x)}^{2}}$

Paso 9.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) (c \cdot 1)}{{(1 + c x)}^{2}}$

Paso 9.12

Combina fracciones.

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Paso 9.12.1

Multiplica $c$ por $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{{(1 + c x)}^{2}}$

Paso 9.12.2

Multiplica $\frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{{(1 + c x)}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{{(1 + c x)}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 9.12.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${(1 + c x)}^{2}$ .

$\frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{2 \cdot {(1 + c x)}^{2}} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$\frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} {(\frac{1 + c x}{1 - c x})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 10.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1 + c x}{1 - c x}$ .

$\frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (- c) + c x (- c) - (1 - c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (- c) + c x (- c) + (- 1 \cdot 1 - (- c x)) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (- c) + c x (- c) - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6

Combina los términos.

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Paso 10.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 c + c x (- c) - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.2

Reescribe $- 1 c$ como $- c$ .

$\frac{- c + c x (- c) - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.3

Eleva $c$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- c + c^{1} c x \cdot - 1 - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.4

Eleva $c$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- c + c^{1} c^{1} x \cdot - 1 - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- c + c^{1 + 1} x \cdot - 1 - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- c + c^{2} x \cdot - 1 - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $c^{2} x$ .

$\frac{- c - 1 \cdot (c^{2} x) - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.8

Reescribe $- 1 c^{2}$ como $- c^{2}$ .

$\frac{- c - c^{2} x - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.10

Reescribe $- 1 c$ como $- c$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.11

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c + 1 (c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.12

Multiplica $c$ por $1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c + c x c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.13

Eleva $c$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c + c^{1} c x}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.14

Eleva $c$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c + c^{1} c^{1} x}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- c - c^{2} x - c + c^{1 + 1} x}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.16

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c + c^{2} x}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.17

Resta $c$ de $- c$ .

$\frac{- 2 c - c^{2} x + c^{2} x}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.18

Suma $- c^{2} x$ y $c^{2} x$ .

$\frac{- 2 c + 0}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.19

Suma $- 2 c$ y $0$ .

$\frac{- 2 c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.20

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 10.6.20.1

Factoriza $2$ de $- 2 c$ .

$\frac{2 (- c)}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.20.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.6.20.2.1

Factoriza $2$ de $2 {(1 + c x)}^{2}$ .

$\frac{2 (- c)}{2 ({(1 + c x)}^{2})} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.20.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- c)}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.20.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- c}{{(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{c}{{(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.22

Multiplica $\frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{c}{{(1 + c x)}^{2}}$ .

$- \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}} c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{2}}$

Paso 10.6.23

Mueve ${(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{2} {(1 + c x)}^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 10.6.24

Multiplica ${(1 + c x)}^{2}$ por ${(1 + c x)}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.6.24.1

Mueve ${(1 + c x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} ({(1 + c x)}^{- \frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{2})}$

Paso 10.6.24.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Paso 10.6.24.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Paso 10.6.24.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Paso 10.6.24.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Paso 10.6.24.6

Simplifica el numerador.

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Paso 10.6.24.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Paso 10.6.24.6.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{\frac{3}{2}}}$