Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{(x - 2) (3 x^{2} + 3)}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Paso 1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Expande $(x - 2) (3 x^{2} + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{2} + 3) - 2 (3 x^{2} + 3)}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2} + 3)}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Paso 1.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Paso 1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (x^{2} x) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Paso 1.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Paso 1.2.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Paso 1.2.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 3 \cdot x - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Paso 1.2.4

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 3 x - 6 x^{2} - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Paso 1.2.5

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 3 x - 6 x^{2} - 6}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Paso 2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 6}{x^{3}}}{{(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Simplifica cada término.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{3}{x^{2}} - \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{3}}}{{(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{3}{x^{2}} - \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{3 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Paso 3.5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Paso 5

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Paso 7

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Paso 8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Paso 9

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Mueve el exponente $3$ de ${(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Paso 9.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

Paso 9.3

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

Paso 9.4

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

Paso 9.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

Paso 9.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

Paso 9.6

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{3}}$

Paso 10

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{3 + 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Paso 11.1.2

Multiplica $- 6$ por $0$ .

$\frac{3 + 0 + 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Paso 11.1.3

Multiplica $- 6$ por $0$ .

$\frac{3 + 0 + 0 + 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Paso 11.1.4

Suma $3 + 0 + 0$ y $0$ .

$\frac{3 + 0 + 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Paso 11.1.5

Suma $3 + 0$ y $0$ .

$\frac{3 + 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Paso 11.1.6

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{3}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Paso 11.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{3}{{(6 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Paso 11.2.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{3}{{(6 + 0)}^{3}}$

Paso 11.2.3

Suma $6$ y $0$ .

$\frac{3}{6^{3}}$

Paso 11.2.4

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$\frac{3}{216}$

Paso 11.3

Cancela el factor común de $3$ y $216$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{216}$

Paso 11.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.2.1

Factoriza $3$ de $216$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 72}$

Paso 11.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 72}$

Paso 11.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{72}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{72}$

Forma decimal:

$0.013\overline{8}$