Cálculo Ejemplos

$\log_{x} (2)$

Paso 1

Reescribe $\log_{x} (2)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 1.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que 0 y no iguales a 1, y si $x$ es mayor que 0.

$\frac{d}{d x} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

Paso 1.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = e$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (2)}{\ln (x)}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1

Como $\ln (2)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{\ln (2)}{\ln (x)}$ con respecto a $x$ es $\ln (2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$ .

$\ln (2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{\ln (x)}$ como $\ln^{- 1} (x)$ .

$\ln (2) \frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (x)]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\ln (x)$ .

$\ln (2) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\ln (2) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$\ln (2) (- \ln^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\ln (2) (- \ln^{- 2} (x) \frac{1}{x})$

Paso 5

Combina fracciones.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $\ln^{- 2} (x)$ .

$\ln (2) (- \frac{\ln^{- 2} (x)}{x})$

Paso 5.2

Mueve $\ln^{- 2} (x)$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (2) (- \frac{1}{x \ln^{2} (x)})$

Paso 5.3

Combina $\ln (2)$ y $\frac{1}{x \ln^{2} (x)}$ .

$- \frac{\ln (2)}{x \ln^{2} (x)}$