Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = - \frac{1}{x}$ . Entonces $d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ , de modo que $x^{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = - \frac{1}{x}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica.

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Paso 2.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.3.2

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Paso 2.1.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.3.5.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Paso 2.1.3.5.2

Suma $x^{- 2}$ y $0$ .

$x^{- 2}$

Paso 2.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - \frac{1}{x}$ .

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común.

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

Paso 2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Paso 2.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - \frac{1}{x}$ .

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

Paso 2.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

Paso 2.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- \frac{1}{t}} e^{u} d u$

Paso 3

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} e^{u}]_{- 1}^{- \frac{1}{t}}$

Paso 4

Evalúa $e^{u}$ en $- \frac{1}{t}$ y en $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - e^{- 1}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Evalúa el límite.

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Paso 5.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Paso 5.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{t \to \infty} - \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Paso 5.1.3

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$e^{- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Paso 5.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{t}$ se acerca a $0$ .

$e^{- 0} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Paso 5.3

Evalúa el límite.

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Paso 5.3.1

Evalúa el límite de $e^{- 1}$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$e^{- 0} - e^{- 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e^{0} - e^{- 1}$

Paso 5.3.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 - e^{- 1}$

Paso 5.3.2.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{e}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$1 - \frac{1}{e}$

Forma decimal:

$0.63212055 \dots$