Cálculo Ejemplos

$y = x^{x^{x}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{x^{x}})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 3.1.1

Reescribe $x^{x^{x}}$ como $e^{\ln (x^{x^{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x^{x}})}]$

Paso 3.1.2

Expande $\ln (x^{x^{x}})$ ; para ello, mueve $x^{x}$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{x} \ln (x)}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{x} \ln (x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{x} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{x} \ln (x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{x} \ln (x)]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{x} \ln (x)$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{x} \ln (x)]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{x}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Paso 3.4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Paso 3.5

Simplifica los términos.

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Paso 3.5.1

Combina $x^{x}$ y $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Paso 3.5.2

Cancela el factor común de $x^{x}$ y $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $x$ de $x^{x}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{x - 1}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Paso 3.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{x - 1}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Paso 3.5.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{x - 1}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Paso 3.5.2.2.3

Cancela el factor común.

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{x - 1}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Paso 3.5.2.2.4

Reescribe la expresión.

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x^{x - 1}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Paso 3.5.2.2.5

Divide $x^{x - 1}$ por $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Paso 3.6

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 3.6.1

Reescribe $x^{x}$ como $e^{\ln (x^{x})}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}])$

Paso 3.6.2

Expande $\ln (x^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}])$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x \ln (x)$ .

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Paso 3.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x \ln (x)$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]))$

Paso 3.7.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]))$

Paso 3.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x \ln (x)$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]))$

Paso 3.8

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

Paso 3.9

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

Paso 3.10

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.10.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

Paso 3.10.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.10.2.1

Cancela el factor común.

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

Paso 3.10.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

Paso 3.10.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)))$

Paso 3.10.4

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))))$

Paso 3.11

Simplifica.

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Paso 3.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Paso 3.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Paso 3.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1)) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Paso 3.11.4

Combina los términos.

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Paso 3.11.4.1

Multiplica $e^{x \ln (x)}$ por $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x \ln (x)}) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Paso 3.11.4.2

Multiplica $e^{x^{x} \ln (x)}$ por $e^{x \ln (x)}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.11.4.2.1

Mueve $e^{x \ln (x)}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x)} e^{x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Paso 3.11.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Paso 3.11.4.3

Eleva $\ln (x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln^{1} (x) \ln (x) e^{x \ln (x)})$

Paso 3.11.4.4

Eleva $\ln (x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln^{1} (x) \ln^{1} (x) e^{x \ln (x)})$

Paso 3.11.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} ({\ln (x)}^{1 + 1} e^{x \ln (x)})$

Paso 3.11.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln^{2} (x) e^{x \ln (x)})$

Paso 3.11.4.7

Multiplica $e^{x^{x} \ln (x)}$ por $e^{x \ln (x)}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.11.4.7.1

Mueve $e^{x \ln (x)}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)} e^{x^{x} \ln (x)} \ln^{2} (x)$

Paso 3.11.4.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln^{2} (x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln^{2} (x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln^{2} (x)$