Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{4} (1 + 3 x - x^{2}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{0}^{4} 1 + 3 x - x^{2} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{4} d x + \int_{0}^{4} 3 x d x + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$x]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} 3 x d x + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Paso 4

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$x]_{0}^{4} + 3 \int_{0}^{4} x d x + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x]_{0}^{4} + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Paso 6

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$x]_{0}^{4} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x]_{0}^{4} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} x^{2} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x]_{0}^{4} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4})$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$x]_{0}^{4} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4})$

Paso 9.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.2.1

Evalúa $x$ en $4$ y en $0$ .

$(4) + 0 + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4})$

Paso 9.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $4$ y en $0$ .

$4 + 0 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4})$

Paso 9.2.3

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $4$ y en $0$ .

$4 + 0 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 9.2.4

Simplifica.

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Paso 9.2.4.1

Suma $4$ y $0$ .

$4 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 9.2.4.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$4 + 3 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 9.2.4.3

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 9.2.4.3.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$4 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 9.2.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.4.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$4 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 9.2.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$4 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 9.2.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$4 + 3 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 9.2.4.3.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$4 + 3 (8 - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 9.2.4.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 + 3 (8 - \frac{0}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 9.2.4.5

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 9.2.4.5.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$4 + 3 (8 - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 9.2.4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.4.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$4 + 3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 9.2.4.5.2.2

Cancela el factor común.

$4 + 3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 9.2.4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$4 + 3 (8 - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 9.2.4.5.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$4 + 3 (8 - 0) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 9.2.4.6

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$4 + 3 (8 + 0) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 9.2.4.7

Suma $8$ y $0$ .

$4 + 3 \cdot 8 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 9.2.4.8

Multiplica $3$ por $8$ .

$4 + 24 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 9.2.4.9

Suma $4$ y $24$ .

$28 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 9.2.4.10

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 9.2.4.11

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{0}{3})$

Paso 9.2.4.12

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 9.2.4.12.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Paso 9.2.4.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.4.12.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 9.2.4.12.2.2

Cancela el factor común.

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 9.2.4.12.2.3

Reescribe la expresión.

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{0}{1})$

Paso 9.2.4.12.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$28 - (\frac{64}{3} - 0)$

Paso 9.2.4.13

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$28 - (\frac{64}{3} + 0)$

Paso 9.2.4.14

Suma $\frac{64}{3}$ y $0$ .

$28 - \frac{64}{3}$

Paso 9.2.4.15

Para escribir $28$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$28 \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3}$

Paso 9.2.4.16

Combina $28$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 \cdot 3}{3} - \frac{64}{3}$

Paso 9.2.4.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{28 \cdot 3 - 64}{3}$

Paso 9.2.4.18

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.4.18.1

Multiplica $28$ por $3$ .

$\frac{84 - 64}{3}$

Paso 9.2.4.18.2

Resta $64$ de $84$ .

$\frac{20}{3}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{20}{3}$

Forma decimal:

$6.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$6 \frac{2}{3}$

Paso 11