Cálculo Ejemplos

$y = {(1 + \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 1 + \frac{1}{x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + \frac{1}{x}$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (- x^{- 2})$

Paso 2.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} x^{- 2}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{1}{x^{2}}$

Paso 3.2

Combina los términos.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $- 3$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{- 3}{x^{2}}$ y ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ .

$\frac{- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Paso 3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{3 {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Paso 3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{3 {(\frac{x + 1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Paso 3.3.3

Aplica la regla del producto a $\frac{x + 1}{x}$ .

$- \frac{3 \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Paso 3.4

Combina $3$ y $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Paso 3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.6

Combinar.

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}}$

Paso 3.7

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2 + 2}}$

Paso 3.7.2

Suma $2$ y $2$ .

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{4}}$

Paso 3.8

Multiplica $3 {(x + 1)}^{2}$ por $1$ .

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{4}}$