Cálculo Ejemplos

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}] - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 6.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Combina $\frac{3}{2}$ y ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 7.2

Combina $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $x$ .

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x + 0) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 11

Combina fracciones.

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Paso 11.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 11.2

Combina $2$ y $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ .

$\frac{\frac{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 11.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 11.4

Combina $\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ y $x$ .

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x) x}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{1} x))}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 13

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{1} x^{1}))}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{1 + 1})}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 15

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 16

Factoriza $2$ de $6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 17

Cancela los factores comunes.

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Paso 17.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{\frac{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 17.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 17.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 17.4

Divide $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ por $1$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 18

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 19

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

Paso 20

Simplifica el numerador.

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Paso 20.1

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 20.1.1

Mueve ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

Paso 20.1.2

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2}) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

Paso 20.1.3

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $- {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2}) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}})}{x^{2}}$

Paso 20.1.4

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2}) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}})$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}})}{x^{2}}$

Paso 20.2

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{1})}{x^{2}}$

Paso 20.3

Simplifica.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} - (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

Paso 20.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1)}{x^{2}}$

Paso 20.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} - x^{2} - 1)}{x^{2}}$

Paso 20.6

Resta $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}$