Cálculo Ejemplos

$h (x) = (x^{2} - 3) (x^{3} - 2 x)$ , $(- 2, - 4)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 2$ y $y = - 4$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} - 3$ y $g (x) = x^{3} - 2 x$ .

$(x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x] + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Paso 1.2.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2 \cdot 1) + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Paso 1.2.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Paso 1.2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (x^{3} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 1.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (x^{3} - 2 x) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 1.2.8

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (x^{3} - 2 x) (2 x + 0)$

Paso 1.2.9

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.9.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (x^{3} - 2 x) (2 x)$

Paso 1.2.9.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3} - 2 x$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + 2 \cdot (x^{3} - 2 x) x$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (2 x^{3} + 2 (- 2 x)) x$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Paso 1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 3) (3 x^{2}) + (x^{2} - 3) \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Paso 1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (3 x^{2}) - 3 (3 x^{2}) + (x^{2} - 3) \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Paso 1.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (3 x^{2}) - 3 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Paso 1.3.6

Combina los términos.

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.6.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} \cdot 3 - 3 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Paso 1.3.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2 + 2} \cdot 3 - 3 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Paso 1.3.6.1.3

Suma $2$ y $2$ .

$x^{4} \cdot 3 - 3 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Paso 1.3.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$3 \cdot x^{4} - 3 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Paso 1.3.6.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$3 x^{4} - 9 x^{2} + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Paso 1.3.6.4

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$3 x^{4} - 9 x^{2} - 2 \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Paso 1.3.6.5

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$3 x^{4} - 9 x^{2} - 2 x^{2} + 6 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Paso 1.3.6.6

Resta $2 x^{2}$ de $- 9 x^{2}$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Paso 1.3.6.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 (x^{1} x^{3}) + 2 (- 2 x) x$

Paso 1.3.6.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{1 + 3} + 2 (- 2 x) x$

Paso 1.3.6.9

Suma $1$ y $3$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} + 2 (- 2 x) x$

Paso 1.3.6.10

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 4 x \cdot x$

Paso 1.3.6.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 4 (x^{1} x)$

Paso 1.3.6.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 4 (x^{1} x^{1})$

Paso 1.3.6.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 4 x^{1 + 1}$

Paso 1.3.6.14

Suma $1$ y $1$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 4 x^{2}$

Paso 1.3.6.15

Suma $3 x^{4}$ y $2 x^{4}$ .

$5 x^{4} - 11 x^{2} + 6 - 4 x^{2}$

Paso 1.3.6.16

Resta $4 x^{2}$ de $- 11 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} + 6$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = - 2$ .

$5 {(- 2)}^{4} - 15 {(- 2)}^{2} + 6$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$5 \cdot 16 - 15 {(- 2)}^{2} + 6$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $5$ por $16$ .

$80 - 15 {(- 2)}^{2} + 6$

Paso 1.5.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$80 - 15 \cdot 4 + 6$

Paso 1.5.1.4

Multiplica $- 15$ por $4$ .

$80 - 60 + 6$

Paso 1.5.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 1.5.2.1

Resta $60$ de $80$ .

$20 + 6$

Paso 1.5.2.2

Suma $20$ y $6$ .

$26$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $26$ y un punto dado $(- 2, - 4)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 4) = 26 \cdot (x - (- 2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 4 = 26 \cdot (x + 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $26 \cdot (x + 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + 4 = 0 + 0 + 26 \cdot (x + 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 4 = 26 \cdot (x + 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 4 = 26 x + 26 \cdot 2$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $26$ por $2$ .

$y + 4 = 26 x + 52$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 26 x + 52 - 4$

Paso 2.3.2.2

Resta $4$ de $52$ .

$y = 26 x + 48$

Paso 3