Cálculo Ejemplos

${(2 y + 1)}^{3} - 24 x = - 3$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} ({(2 y + 1)}^{3} - 24 x) = \frac{d}{d x} (- 3)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa el teorema del binomio.

$\frac{d}{d x} [{(2 y)}^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 y$ .

$\frac{d}{d x} [2^{3} y^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Paso 2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Paso 2.2.1.3

Aplica la regla del producto a $2 y$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 (2^{2} y^{2}) \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Paso 2.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 (4 y^{2}) \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Paso 2.2.1.5

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Paso 2.2.1.6

Multiplica $12$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Paso 2.2.1.7

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Paso 2.2.1.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y \cdot 1 + 1^{3} - 24 x]$

Paso 2.2.1.9

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1^{3} - 24 x]$

Paso 2.2.1.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1 - 24 x]$

Paso 2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1 - 24 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 y^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 y^{3}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$8 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$8 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$8 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 2.3.4

Multiplica $3$ por $8$ .

$24 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 y^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 y^{2}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$24 y^{2} y' + 12 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$24 y^{2} y' + 12 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 2.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$24 y^{2} y' + 12 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$24 y^{2} y' + 12 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 2.4.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$24 y^{2} y' + 12 (2 y y') + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 2.4.4

Multiplica $2$ por $12$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 y]$ .

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Paso 2.5.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 y$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 2.5.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 2.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 2.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Paso 2.7.1

Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24 x$ con respecto a $x$ es $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24 \cdot 1$

Paso 2.7.3

Multiplica $- 24$ por $1$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24$

Paso 2.8

Suma $24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y'$ y $0$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' - 24$

Paso 3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' - 24 = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $24$ a ambos lados de la ecuación.

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' = 24$

Paso 5.2

Factoriza $6 y'$ de $24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $6 y'$ de $24 y^{2} y'$ .

$6 y' (4 y^{2}) + 24 y y' + 6 y' = 24$

Paso 5.2.2

Factoriza $6 y'$ de $24 y y'$ .

$6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y) + 6 y' = 24$

Paso 5.2.3

Factoriza $6 y'$ de $6 y'$ .

$6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y) + 6 y' \cdot 1 = 24$

Paso 5.2.4

Factoriza $6 y'$ de $6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y)$ .

$6 y' (4 y^{2} + 4 y) + 6 y' \cdot 1 = 24$

Paso 5.2.5

Factoriza $6 y'$ de $6 y' (4 y^{2} + 4 y) + 6 y' \cdot 1$ .

$6 y' (4 y^{2} + 4 y + 1) = 24$

Paso 5.3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.3.1

Reescribe $4 y^{2}$ como ${(2 y)}^{2}$ .

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 4 y + 1) = 24$

Paso 5.3.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 4 y + 1^{2}) = 24$

Paso 5.3.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 y = 2 \cdot (2 y) \cdot 1$

Paso 5.3.4

Reescribe el polinomio.

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 2 \cdot (2 y) \cdot 1 + 1^{2}) = 24$

Paso 5.3.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = 2 y$ y $b = 1$ .

$6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$

Paso 5.4

Divide cada término en $6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$ por $6 {(2 y + 1)}^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$ por $6 {(2 y + 1)}^{2}$ .

$\frac{6 y' {(2 y + 1)}^{2}}{6 {(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 y' {(2 y + 1)}^{2}}{6 {(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' {(2 y + 1)}^{2}}{{(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de ${(2 y + 1)}^{2}$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' {(2 y + 1)}^{2}}{{(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Cancela el factor común de $24$ y $6$ .

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Paso 5.4.3.1.1

Factoriza $6$ de $24$ .

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Paso 5.4.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.2.1

Factoriza $6$ de $6 {(2 y + 1)}^{2}$ .

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 ({(2 y + 1)}^{2})}$

Paso 5.4.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Paso 5.4.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$