Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{x \sqrt{9 + 4 x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $x = \frac{3}{2} \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ es positiva.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 + 4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{9 + 4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 + 4 {(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.1.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 + 4 \frac{{(3 \tan (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.2.2

Aplica la regla del producto a $3 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 + 4 \frac{3^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 + 9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $9$ de $9$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 (1) + 9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $9$ de $9 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 (1) + 9 (\tan^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $9$ de $9 (1) + 9 (\tan^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 (1 + \tan^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.5

Reorganiza los términos.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.6

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.7

Reescribe $9 \sec^{2} (t)$ como ${(3 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) (3 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 \tan (t)}{2} (3 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2.2

Combina $3$ y $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 (3 \tan (t))}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\int \frac{1}{\frac{9 \tan (t)}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2.4

Combina $\frac{9 \tan (t)}{2}$ y $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{9 \tan (t) \sec (t)}{2}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2.5

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{9 \tan (t) \sec (t)}{2}$ .

$\int 1 \frac{2}{9 \tan (t) \sec (t)} \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2.6

Multiplica $\frac{2}{9 \tan (t) \sec (t)}$ por $1$ .

$\int \frac{2}{9 \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2.7

Multiplica $\frac{2}{9 \tan (t) \sec (t)}$ por $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 (3 \sec^{2} (t))}{9 \tan (t) \sec (t) \cdot 2} d t$

Paso 2.2.8

Multiplica $3$ por $2$ .

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{9 \tan (t) \sec (t) \cdot 2} d t$

Paso 2.2.9

Multiplica $2$ por $9$ .

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{18 \tan (t) \sec (t)} d t$

Paso 2.2.10

Cancela el factor común de $6$ y $18$ .

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Paso 2.2.10.1

Factoriza $6$ de $6 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{18 \tan (t) \sec (t)} d t$

Paso 2.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.10.2.1

Factoriza $6$ de $18 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{6 (3 \tan (t) \sec (t))} d t$

Paso 2.2.10.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{6 (3 \tan (t) \sec (t))} d t$

Paso 2.2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{3 \tan (t) \sec (t)} d t$

Paso 2.2.11

Cancela el factor común de $\sec^{2} (t)$ y $\sec (t)$ .

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Paso 2.2.11.1

Factoriza $\sec (t)$ de $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{3 \tan (t) \sec (t)} d t$

Paso 2.2.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.11.2.1

Factoriza $\sec (t)$ de $3 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (3 \tan (t))} d t$

Paso 2.2.11.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (3 \tan (t))} d t$

Paso 2.2.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{\sec (t)}{3 \tan (t)} d t$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe $\tan (t)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{3} \int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Paso 4.2

Reescribe $\sec (t)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{3} \int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Paso 4.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $\cos (t)$ .

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Paso 4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Paso 4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Paso 4.5

Convierte de $\frac{1}{\sin (t)}$ a $\csc (t)$ .

$\frac{1}{3} \int \csc (t) d t$

Paso 5

La integral de $\csc (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Paso 6

Simplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (\frac{2 x}{3})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arctan (\frac{2 x}{3})) - \cot (\arctan (\frac{2 x}{3})) |) + C$

Paso 8

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arctan (\frac{2}{3} x)) - \cot (\arctan (\frac{2}{3} x)) |) + C$