Cálculo Ejemplos

$\int x \cdot f (\ln (x)) d x$

Paso 1

Multiplica $x$ por $f \ln (x)$ .

$\int x (f \ln (x)) d x$

Paso 2

Dado que $f$ es constante con respecto a $x$ , mueve $f$ fuera de la integral.

$f \int x (\ln (x)) d x$

Paso 3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x$ .

$f (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Paso 4.2

Combina $\ln (x)$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Paso 4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Paso 4.4

Multiplica $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Paso 4.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Paso 4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.5.2.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Paso 4.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Paso 4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Paso 7.2

Reescribe $f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ como $f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Paso 7.3

Reordena los términos.

$f (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C$