Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{3} + x^{2} - x + 1}{x^{3}} d x$

Paso 1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{3 \cdot - 1} d x$

Paso 2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{- 3} d x$

Paso 3

Expande $(x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{- 3}$ .

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (x^{3} + x^{2} - x) x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (x^{3} + x^{2}) x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{3} x^{- 3} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{3 - 3} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Paso 3.5

Resta $3$ de $3$ .

$\int x^{0} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Paso 3.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\int 1 + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Paso 3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 1 + x^{2 - 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Paso 3.8

Resta $3$ de $2$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Paso 3.9

Factoriza el negativo.

$\int 1 + x^{- 1} - (x \cdot x^{- 3}) + 1 x^{- 3} d x$

Paso 3.10

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - (x^{1} x^{- 3}) + 1 x^{- 3} d x$

Paso 3.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 1 + x^{- 1} - x^{1 - 3} + 1 x^{- 3} d x$

Paso 3.12

Resta $3$ de $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x^{- 2} + 1 x^{- 3} d x$

Paso 3.13

Multiplica $x^{- 3}$ por $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3} d x$

Paso 3.14

Reordena $1$ y $x^{- 1}$ .

$\int x^{- 1} + 1 - x^{- 2} + x^{- 3} d x$

Paso 3.15

Mueve $1$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} + 1 + x^{- 3} d x$

Paso 3.16

Mueve $1$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3} + 1 d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Paso 5

La integral de $x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int d x$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + x + C$

Paso 10

Simplifica.

$\ln (| x |) + \frac{1}{x} - \frac{1}{2 x^{2}} + x + C$