Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{e^{x}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{e^{x}}$ como $e^{\frac{x}{2}}$ .

$y = e^{\frac{x}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 4.2

Diferencia.

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Paso 4.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \cdot 1$

Paso 4.2.4

Multiplica $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ por $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$