Cálculo Ejemplos

$\ln (| \cos (\frac{π}{x}) |)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = | \cos (\frac{π}{x}) |$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $| \cos (\frac{π}{x}) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $| \cos (\frac{π}{x}) |$ .

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = \cos (\frac{π}{x})$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\cos (\frac{π}{x})$ .

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

Paso 2.2

La derivada de $| u_{2} |$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (\frac{π}{x})$ .

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

Paso 3

Multiplica $\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) |}$ por $\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |}$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) | | \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Paso 4

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Paso 5

Eleva $\cos (\frac{π}{x})$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{1} (\frac{π}{x}) \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Paso 6

Eleva $\cos (\frac{π}{x})$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{1} (\frac{π}{x}) \cos^{1} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| {\cos (\frac{π}{x})}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Paso 8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Paso 9

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \frac{π}{x}$ .

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Paso 9.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $\frac{π}{x}$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

Paso 9.2

La derivada de $\cos (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $- \sin (u_{3})$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

Paso 9.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $\frac{π}{x}$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- \sin (\frac{π}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

Paso 10

Diferencia.

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Paso 10.1

Combina $\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ y $\sin (\frac{π}{x})$ .

$- \frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}]$

Paso 10.2

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{π}{x}$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 10.3

Combina fracciones.

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Paso 10.3.1

Combina $π$ y $\frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ .

$- \frac{π (\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x}))}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 10.3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 10.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- x^{- 2})$

Paso 10.5

Combina fracciones.

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Paso 10.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} x^{- 2}$

Paso 10.5.2

Multiplica $\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ por $1$ .

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} x^{- 2}$

Paso 10.5.3

Combina $\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ y $x^{- 2}$ .

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x}) x^{- 2}}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$

Paso 10.5.4

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) | x^{2}}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Reordena los términos.

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} | \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$

Paso 11.2

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})}$

Paso 11.3

Cancela el factor común de $\cos (\frac{π}{x})$ y $\cos^{2} (\frac{π}{x})$ .

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Paso 11.3.1

Factoriza $\cos (\frac{π}{x})$ de $π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})}$

Paso 11.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.2.1

Factoriza $\cos (\frac{π}{x})$ de $x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{\cos (\frac{π}{x}) (x^{2} \cos (\frac{π}{x}))}$

Paso 11.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{\cos (\frac{π}{x}) (x^{2} \cos (\frac{π}{x}))}$

Paso 11.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{π \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} \cos (\frac{π}{x})}$

Paso 11.4

Separa las fracciones.

$\frac{π}{x^{2}} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{x})}{\cos (\frac{π}{x})}$

Paso 11.5

Convierte de $\frac{\sin (\frac{π}{x})}{\cos (\frac{π}{x})}$ a $\tan (\frac{π}{x})$ .

$\frac{π}{x^{2}} \tan (\frac{π}{x})$

Paso 11.6

Combina $\frac{π}{x^{2}}$ y $\tan (\frac{π}{x})$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{x})}{x^{2}}$